2015年高考数学真题分类汇编：专题(04)三角函数与三角形(理科)及答案

13.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD? m.

【答案】1006

【考点定位】三角形三内角和定理，三角函数的定义，有关测量中的的几个术语，正弦定理. 【名师点睛】本题是空间四面体问题，不能把四边形ABCD看成平面上的四边形.

14.【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______. 【答案】6

【解析】由正弦定理得

23ABAD，即，解得??sin?ADBsin120?sin?ADBsinB，

从

而

sin?ADB?22，

?ADB?45??BAD?15???DAC，所以

C?180??120??30??30?，AC?2ABcos30??6. 【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）

【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．

15.【2015高考浙江，理11】函数f(x)?sinx?sinxcosx?1的最小正周期是 ，单

2调递减区间是 ． 【答案】?，[【解析】 试题分析：f(x)?递减区间为

3?7??k?,?k?]，k?Z. 881?cos2xsin2x2?3??1?sin(2x?)?，故最小正周期为?，单调22242[3?7??k?,?k?]，k?Z. 88【考点定位】1.三角恒等变形；2.三角函数的性质

【名师点睛】本题考查了三角恒等变形与函数y?Asin(?x??)的性质，属于中档题，首先

利用二倍角的

降幂变形对f(x)的表达式作等价变形，其次利用辅助角公式化为形如y?Asin(?x??)的形

式，再由正

弦函数的性质即可得到最小正周期与单调递减区间，三角函数是高考的热点问题，常考查的

知识点有三角

恒等变形，正余弦定理，单调性周期性等.

16.【2015高考福建，理12】若锐角?ABC的面积为103 ，且AB?5,AC?8 ，则BC 等于________． 【答案】7

【解析】由已知得?ABC的面积为

31，AB?ACsinA?20sinA?103，所以sinA?22A?(0,)，所以A?．由余弦定理得BC2?AB2?AC2?2AB?ACcosA?49，

23??BC?7．

【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理．

【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边，属于基础题．

17.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 . 【答案】（6?2，6+2）

【考点定位】正余弦定理；数形结合思想

【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC长定，平移AD，当AD重合时，AB最长，当CD重合时AB最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB的长，即可求出AB的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.

18.【2015江苏高考，8】已知tan???2，tan??????【答案】3

1，则tan?的值为_______. 71?2tan(???)?tan?7??3. 【解析】tan??tan(?????)?1?tan(???)tan?1?27【考点定位】两角差正切公式

【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 19.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）

?ABC中，D是BC上的点，AD平分?BAC，?ABD面积是?ADC面积的2倍．

(Ⅰ) 求

sin?B；

sin?C2，求BD和AC的长． 2(Ⅱ)若AD?1，DC?【答案】(Ⅰ)

1；(Ⅱ)1． 211【解析】(Ⅰ)S?ABD?AB?ADsin?BAD，S?ADC?AC?ADsin?CAD，因为

22sin?BAC1 S?ABD?2S?ADC，?BAD??CAD，所以AB?2AC．由正弦定理可得??．

sin?CAB2 (Ⅱ)因为S?ABD:S?ADC?BD:DC，所以BD?2．在?ABD和?ADC中，由余弦定理得

AB2?AD2?BD2?2AD?BDcos?ADB，AC2?AD2?DC2?2AD?DCcos?ADC． AB2?2AC2?3AD2?BD2?2DC2?6．由(Ⅰ)知AB?2AC，所以AC?1．

【考点定位】1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．

【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中cos?ADB和cos?ADC互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求AC．

20.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）