高中数学知识点总结-第十章排列组合和二项式定理

高中数学第十章-排列组合二项定理

考试内容：

分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．

组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：

（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．

（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．

§10. 排列组合二项定理 知识要点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．

从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：m种）

二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同．．．．．．元素中取出m个元素的一个排列. ⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的

m一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.

n⑷排列数公式： Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N)

(n?m)!注意：n?n!?(n?1)!?n! 规定0! = 1

mmmm?1mm?110 Anm?nAnm?? 规定Cn?CnAn?n?1 1?An?Am?Cn?An?mAn12. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数

为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于n?n!.

n1!n2!...nk!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n?(1?2)!?3又例如：数字5、5、5、求其排列个

1!2!数？其排列个数n?3!?1.

3!三、组合.

1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

Amn(n?1)?(n?m?1)n!m⑵组合数公式：C?n? C?nmm!m!(n?m)!Ammn⑶两个公式：①Cn?Cmn?mn; ②Cm?1mmn?Cn?Cn?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，

m1m?1?C1分二类，一类是含红球选法有Cm?n1?Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元

素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元

1素，所以有Cm?n，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有

Cn种，依分类原理有Cmm?1mm?C?Cnnn?1.

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式

012nCn?Cn?Cn???n?2 n024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1mmmm?1Cm?C?C?C?Cnm?1m?2m?nm?n?1k?1kCk?nCnn?1

11k?1Ck?Cnn?1k?1n?1②常用的证明组合等式方法例.

123n1n?111??） ?1?i. 裂项求和法. 如：????（利用n!(n?1)!n!2!3!4!(n?1)!(n?1)!ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

m?1mC3?C4?C5??Cn?Cn?1. v. 递推法（即用Cmn?Cn?Cn?1递推）如：

33334vi. 构造二项式. 如：(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n

证明：这里构造二项式(x?1)n(1?x)n?(1?x)2n其中xn的系数，左边为

01n?12n?2n00212n2?C2n Cn?Cnn?Cn?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?(Cn)?(Cn)???(Cn)，而右边

0212n2nn四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成

?m?1mn?m?1一列，要求其中某m(m?n)个元素必相邻的排列有Ann?m?1?Am个.其中An?m?1是一个“整体排

列”，而Amm则是“局部排列”.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An. ?An?11?A2?12②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An. n?1?A22?1③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An. ?Ann?1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取2的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

?mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？An（插n?m?An?m?1空法），当n – m+1≥m, 即m≤n?1时有意义.

2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(m?n)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An/Am.

nm⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

nnCkn?C(k?1)nn?CnAkk.

C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有4?3（平均分组

2!就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有An?m?An?m?1/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤n?1时有意义.

n?mmm2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图

x1x4 x2 x 3 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板

3的方法数C11.

注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi?1，有x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化为求a的正整数解的个数为

n?1CA?n .

⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有

?rArrAkn?r.

例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固

定在）某一位置上，共有多少种排法？

m1m?1固定在某一位置上：An?1；不在某一位置上：An?An?1或An?1?Am?1?An?1（一类是不取出

m?1mm?1特殊元素a，有An?1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在

k?rkrk?r内 。先C后A策略，排列CrrCn?rAk；组合CrCn?r.

mii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含

k在内。先C后A策略，排列Cn?rkAkk；组合Cn?r.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）