2017-2018北京市房山区高三数学理科一模试题及答案

将侧面PCD绕着PD旋转，使其与侧面PAD共面，点C运动到C’，连接AC’交PD于E， 则AC’为最短路线

??APD??PDC'?900

?AP?//DC'?四边形ADC'P为平行四边形?E为PD，AC?的中点

?PE10 …………14分 ?1,AC??2AE?2AP2?PE2?2?10ED2

（18）（Ⅰ）根据题意

??b?1 ??e?c2??a?2?a?2解得：?? ??b?1?a2?b2?c2所以椭圆C的方程为x22?y2?1

（Ⅱ）设直线l的方程为y?k(x?1)

?x2由??2?y2?1 得 (2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0 ??y?k(x?1)由??0得k?R且k?0

设M(x1,y1),N(x2,y2)，线段MN中点Q(x0,y0) 4k22k2那么x?21?x2?2k2?1，x1x2?2k2?1

x2 x1?x22k0?2?2k?1,yx?k20?k(0?1)?2k2?1 设P(p,0)，根据题意PQ?MN

?k所以y0x?2k2?1??1，得p?k20?p2k22k2 2k2?1?pk?1所以|PF|?1?k2k2?12k2?1?2k2?1

|MN|?(1?k2)[(x1?x22)?4x1x2] …………… 5分 4k224(2k2?2)22(1?k2)=(1?k)[(2 )?]?222k?12k?12k?12所以

|MN|?22为定值 ………………… 14分 |PF|1x?11?. x2x（19） (Ⅰ)解：a＝-1，f?x?＝－lnx，f?1?＝1，f??x?＝?k?f??1?＝0.

故所求切线方程为：y＝1

(Ⅱ) 解：g?x??xlnx,函数定义域为：{x|x?0}

g??x??lnx?1，x0?

111(0,)(,??)eeeg?(x)?? g(x)极小值x故g?x?的极小值为?1e1，无极大值. e11?alnx?0，解得：＝xlnx（显然a?0） xa(Ⅲ)解法1：令f?x??问题等价于函数y?

1

与函数y＝xlnx的图像有两个不同交点. a

1?1??e21211??ae?a??e 由(Ⅱ)可知：g(2)??2，g()??，?，解得：?2eeee?12??2?e?a?e2?故实数a的取值范围是??,?e?.

?2?，(Ⅲ)解法2： f?x???1aax?1??? 22xxx（1） a?0时，f?x??1?1?在?2,???上是减函数，f?x?不能有两个零点； x?e?ax?1?1??1??0在恒成立，所以上是,??fx在,??????222??x?e??e?，（2）a?0时，ax?1?0，所以f?x???减函数，f?x?不能有两个零点；

，（3）a?0时，令f?x???ax?11?0,x?? x2af?x?,f，?x?变化情况如下表：

xf,?x?f?x?（i）?1??0,???a???1?1???,???a?a? 0?极大值?11?1??2时，即a??e2，f?x?在?2,???上是增函数，所以f?x?不能有两个零点； ae?e?11?11??1??2时，?e2?a?0f?x?在?2,??上是减函数，f?x?在??,???上是增函数. aea??e?a?（ii）??1?f?1??0所以若f?x?在?2,???有两个零点只需：

?e???1???1?f??0?a?aln?a??e???????02?e?a??a???? 即：? 解得??e2 所以??a??e

2?e2?aln1?0?a???f?1??0?2?2?2??ee?????e2?综上可知a的范围是??,?e?

?2?

20.解：（Ⅰ）B1有如下的三种可能结果：B1:,;B1:,;B1:0,（Ⅱ）?a,b?{x|?1?x?1}，有

113211235……………………3分 7

a?b?(a?1)(b?1)a?b(a?1)(b?1)?1??0且?(?1)??0. 1?ab1?ab1?ab1?aba?b所以?{x|?1?x?1}，即每次操作后新数列仍是Γ数列.

1?ab又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A每操作一次，项数就减少一项，所以对n项的Γ数列A可进行n?1次操作（最后只剩下一项） ……………………6分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知B9中仅有一项.

对于满足a,b?{x|?1?x?1)的实数a,b定义运算：a合律。 因为ab?a?b，下面证明这种运算满足交换律和结1?abb?a?b，且b1?aba?b?a，所以a1?bab?ab，即该运算满足交换律；

b?cb?c1?bc?a?b?c?abc 因为a(bc)?a?1?bc1?a?b?c1?ab?bc?ca1?bca?b?ca?ba?b?c?abc1?ab且(ab)c? c??a?b1?ab1??c1?ab?bc?ca1?aba?所以a(bc)?(ab)c，即该运算满足结合律.

所以B9中的项与实施的具体操作过程无关 ………………..….11分 选择如下操作过程求B9： 由（Ⅰ）可知易知?5715?； 375111?0；??0；?74451211?0；?561?0； 6所以B5:5,0,0,0,0； 65. 6易知B5经过4次操作后剩下一项为

综上可知： B9:. ....................13分

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