推荐2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理余弦定理应用举例课时分层训练

课时分层训练(二十一) 正弦定理、余弦定理应用举例

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．如图3-7-9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

图3-7-9

A．a km B.3a km C.2a km

D．2a km

B [在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°， ∴AB＝a＋a－2acos 120°＝3a，AB＝3a.]

2．如图3-7-10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )

【导学号：51062127】

2

2

2

2

2

图3-7-10

A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°

D [由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

A．102海里 C．203海里

B．103海里 D．202海里

∠ACB＝45°，根

A [如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，

BCAB

据正弦定理得＝，

sin 30°sin 45°

解得BC＝102(海里)．]

4．如图3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 ( )

图3-7-11

A．8 km/h C．234 km/h

B．62 km/h D．10 km/h

0.63

B [设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而

15414?1?2?1?22

cos θ＝，所以由余弦定理得?v?＝?×2?＋1－2××2×1×，解得v＝62.]

5105?10??10?

5．如图3-7-12，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物

AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )

图3-7-12

A．30° C．60°

B．45° D．75°

B [依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)， 又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得 AC2＋AD2－CD2cos∠CAD＝ 2AC·AD＝5

－5026 0002

＝＝，

2×305×20106 00022

＋

10

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.] 二、填空题

6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米. 【导学号：51062128】

16 [如图所示，设BD＝x m，

则14＝10＋x－2×10×x×cos 60°，整理得x－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．] 7．如图3-7-13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：51062129】

2

2

2

2

图3-7-13

106 [在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，

BC

＝

sin 45°

CDCDsin 45°AB

，BC＝＝102.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝106(米)．]

sin 30°sin 30°BC

8．如图3-7-14所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的

B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮

的速度为________海里/分钟．

图3-7-14

6

[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°， 3

ACAB

由正弦定理得＝，

sin Bsin∠ACB

AB·sin B20×sin 60°

所以AC＝＝＝106，

sin∠ACBsin 45°1066

所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．]

303三、解答题

9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，

B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)

图3-7-15

[解] 在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°， ∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝802.4分 BCAB

在△ABC中，＝，

sin 30°sin 45°180×

2ABsin 30°

∴BC＝＝＝402.8分

sin 45°2

2在△DBC中，DC＝DB＋BC－2DB·BCcos 60° 122

＝(802)＋(402)－2×802×402×＝9 600.

2∴DC＝406，航模的速度v＝

406

＝26米/秒. 14分 20

2

2

2

10．如图3-7-16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

图3-7-16

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值. 【导学号：51062130】

[解] (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.4分 在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝12＋20－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28. BC

所以渔船甲的速度为＝14海里/小时.8分

2

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得10分

ABBC

＝，sin αsin 120°

2

2