(优辅资源)吉林省长春市高考数学三模试卷(理科) Word版含解析

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（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=

，即可得出图形．

（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：

由图可得女性用户更稳定．（4分）

（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（02，3，分）的人数为X，则X取值为1，

P=；（X=2）

=；

．

所以X的分布列为 X 1 2 3 精 品

P ．（12分）

【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）（2017?长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点． （1）求证：PD⊥平面ABE； （2）若F为AB中点，﹣B的余弦值为

．

，试确定λ的值，使二面角P﹣FM

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以

为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系

A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB， 又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以A﹣BDP，令|AB|=2，

为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系

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则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），（2λ，2λ，2﹣2λ） 设平面PFM的法向量

，，，M

，，即，

设平面BFM的法向量即

，

，

，

，解得

．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

20．（12分）（2017?长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为

的椭圆C：

的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异

于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是

．

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，求线段AB长的取值范围．

【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由已知2a=2得kOM?出．

（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．

【解答】解：（1）由已知2a=2∵kOM=

，∴kOM?

=

?

，解得a==

?

，记点P（x0，y0），

=

，

=

?

，解得a=

，记点P（x0，y0），kOM=

，可

利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得

又点P（x0，y0）在椭圆上，故

+

=1，∴kOM?=﹣=﹣，

∴

，∴b2=1，∴椭圆的方程为

．（4分）

（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，

得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．

由韦达定理可得，

可得故AB中点

， ，

QN直线方程：，