[红对勾]（新课标）2016高考数学大一轮复习 第五章 数列课时作业36 理 新人教A版

课时作业36 数列的综合应用

一、选择题

1．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则b2·(a1＋a2)＝( )

A．20 C．35

B．30 D．40

解析：∵1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10；1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b2＝1×9＝9，因为b1＝b2>0，所以b2＝3，所以b2·(a1＋a2)＝30，故选B.

答案：B

1a2n＋1＋a2n＋2

2．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且5a1，a3,4a2成等差数列，则＝2a1＋a2

( )

A．－1 C．5

2n2

2

B．1 D．5

2n－1

2

解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则依题意有a3＝5a1＋4a2，即a1q＝5a1＋4a1q，

a2n＋1＋a2n＋2a1q2n＋a2q2n2nq－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝5.又q>0，因此q＝5，所以＝＝qa1＋a2a1＋a2

2

＝5

答案：C

3．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，

2n.

x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是( )

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：根据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴

S△OP1P2＝1.

答案：A

4．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝

9

A. 11

1

anan＋1

，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( )

10B. 11

1

8C. 1112D. 11

解析：由y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，n∈N.∴bn＝

答案：B

*

1111111110

，∴T10＝－＋－＋…＋－＝1－＝. n?n＋1?122310111111

5．如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x1*

＋(x>0)的图象上．若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2，n∈N)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则

xa2＋a3＋…＋a10＝( )

A．208 C．212

B．216 D．220

1?11??1?2

解析：由Bn(n,0)，得Cn?n，n＋?，令x＋＝n＋，即x－?n＋?x＋1＝0，得x＝n或

?n?

xn?n?

x＝，所以Dn?，n＋?，所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2?n－?＋2?n＋?＝4n，则a2＋a3＋…

n?n?n?n??n?

＋a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216，故选B.

答案：B

6．对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如下表：

1

?11??

1??

1?x y 1 3 2 7 3 5 *4 9 5 6 6 1 7 8 8 2 9 4 数列{xn}满足x1＝1，且对任意x∈N，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋

x2＋x3＋x4＋…＋x2 013＋x2 014的值为( )

A．7 549 C．7 539

B．7 545 D．7 535

解析：由已知表格列出点(xn，xn＋1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x1

＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，…，数列{xn}是周期数列，周期为4,2 014＝4×503＋2，所以x1＋x2＋…＋x2 014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7 549.

答案：A

2

二、填空题

7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．

解析：由题意知a3＝a1·a7，即(a1＋2d)＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴等比数列{bn}的公比q＝＝

2

2

a3a1＋2d＝2.

a1a1

答案：2

8．函数y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.

解析：依题意得，函数y＝x(x>0)的图象在点(ak，ak)处的切线方程是y－ak＝2ak(x－

2

2

2

2

2

ak)．令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，

1

21212

?1?k－15－k所以ak＝16·??＝2，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.

?2?

答案：21

1m9．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列{}的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对an15

n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为________．

解析：由{an}为等差数列，a2＝5，a6＝21得，d＝

a6－a2

4

＝4，an＝5＋4(n－2)＝4n－3，

111

而数列{S2n＋1－Sn}有(S2n＋3－Sn＋1)－(S2n＋1－Sn)＝S2n＋3－S2n＋1＋Sn－Sn＋1＝＋－8n＋98n＋54n＋114m1414

<0得{S2n＋1－Sn}单调递减，其最大值为S3－S1＝，即≥得m≥，所以m最小值为5.

4515453

答案：5 三、解答题

10．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足Sn－(n＋n－3)Sn－3(n＋n)＝0，n∈N.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有

1111＋＋…＋<.

a1?a1＋1?a2?a2＋1?an?an＋1?3

*

2

2

2

解：(1)令n＝1代入得a1＝2(负值舍去)．

(2)由Sn－(n＋n－3)Sn－3(n＋n)＝0，n∈N得[Sn－(n＋n)](Sn＋3)＝0. 又已知各项均为正数，故Sn＝n＋n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n＋n－(n－1)－(n－1)＝2n，

2

2

2

2

2

2

*

2

3

当n＝1时，a1＝2也满足上式，所以an＝2n，n∈N. (3)证明：k∈N4k＋2k－(3k＋3k)＝k－k＝k(k－1)≥0， ∴4k＋2k≥3k＋3k， ∴

1111

＝＝2≤2

ak?ak＋1?2k?2k＋1?4k＋2k3k＋3k2

2*,

2

2

2

*

1?1?1

＝?－?. 3?kk＋1?∴

111

＋＋…＋

a1?a1＋1?a2?a2＋1?an?an＋1?

11?1?1111

≤?－＋－＋…＋－

nn＋1?3?1223?1?11?＝?1－<.

n＋1?3??3∴不等式成立．

11．已知数列{an}的首项a1＝4，前n项和为Sn，且Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设函数f(x)＝anx＋an－1x＋an－2x＋…＋a1x，f′(x)是函数f(x)的导函数，令bn＝

2

3

*

nf′(1)，求数列{bn}的通项公式，并研究其单调性．

解：(1)由Sn＋1－3Sn－2n－4＝0(n∈N)得Sn－3Sn－1－2n＋2－4＝0(n≥2)， 两式相减得an＋1－3an－2＝0，可得an＋1＋1＝3(an＋1)(n≥2)， 又由已知得a2＝14，所以a2＋1＝3(a1＋1)， 即{an＋1}是一个首项为5，公比为3的等比数列， 所以an＝5×3

n－1

*

－1(n∈N)．

n－1

*

(2)因为f′(x)＝an＋2an－1x＋…＋na1x，

n－1

所以f′(1)＝an＋2an－1＋…＋na1＝(5×35(3

n－1

－1)＋2(5×3.

n－2

－1)＋…＋n(5×3－1)＝

0

＋2×3

n－2

＋3×3

n－3

＋…＋n×3)－

n－3

0

n?n＋1?

2

0

令S＝3

n－1

＋2×3

n－2

＋3×3＋…n×3，

1

则3S＝3＋2×3

nn－1

＋3×34

n＋1

n－2

＋…＋n×3，

作差得S＝－－

2

n3－3n＋1

，

5×3

所以f′(1)＝5×3

即bn＝

n＋1

－15n?n＋6?

－. 42

－15n?n＋6?－， 42

n＋2

5×3

而bn＋1＝

－15?n＋1??n＋7?

－， 42

4

15×37

所以bn＋1－bn＝－n－>0，

22所以{bn}是单调递增数列．

n

已知各项均为正数的数列{an}满足：an＋1＝2an＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足：bn＝n，是否存在正整数m，n(1

解：(1)因为an＋1＝2an＋anan＋1， 即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0.

又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1. 所以数列{an}是公比为2的等比数列．

由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2. 故数列{an}的通项公式为an＝2(n∈N)． (2)因为bn＝， n＝?2n＋1?22n＋11mn所以b1＝，bm＝，bn＝. 32m＋12n＋1若b1，bm，bn成等比数列，则?即

＝. 24m＋4m＋16n＋3

n*

2

2

2

2

*

nannann?m?2＝1?n?，

????2m＋1?3?2n＋1?

m2m2

n2

n3－2m＋4m＋1

由2＝，可得＝， 4m＋4m＋16n＋3nm2

所以－2m＋4m＋1>0，从而1－*

2

66

又n∈N，且m>1，所以m＝2，此时n＝12.

故当且仅当m＝2，n＝12时，b1，bm，bn成等比数列．

5