[K12学习]创新设计(全国通用)2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应

K12学习教育资源

第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第1课时 利用导数研究

函数的单调性练习 理 新人教A版

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.函数f(x)＝xln x，则( ) A.在(0，＋∞)上递增

B.在(0，＋∞)上递减

?1??1?C.在?0，?上递增 D.在?0，?上递减 ?e??e?

1

解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0

e1

得0

e答案 D

2.下面为函数y＝xsin x＋cos x的递增区间的是( )

?π3π?A.?，?

2??2

C.?

B.(π，2π) D.(2π，3π)

?3π，5π? 2??2?

解析 y′＝(xsin x＋cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，当x∈?恒有xcos x>0. 答案 C

?3π，5π?时，

2??2?

13

3.已知函数f(x)＝x＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )

2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

32

解析 f′(x)＝x＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调

2递增”的充分不必要条件. 答案 A

4.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )

K12学习教育资源

K12学习教育资源

解析 由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B

12

5.设函数f(x)＝x－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )

2A.(1，2] C.[－∞，2)

B.(4，＋∞] D.(0，3]

129

解析 ∵f(x)＝x－9ln x，∴f′(x)＝x－(x>0)，

2x9

当x－≤0时，有0

x即在(0，3]上原函数是减函数，则[a－1，a＋1]?(0，3]， ∴a－1>0且a＋1≤3，解得1

e

6.函数f(x)＝的单调递增区间为________.

xxe（x－1）

解析 函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1. 2

xx答案 (1，＋∞)

7.已知a≥0，函数f(x)＝(x－2ax)e，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.

解析 f′(x)＝(2x－2a)e＋(x－2ax)e ＝[x＋(2－2a)x－2a]e，

由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立， 即x＋(2－2a)x－2a≤0在x∈[－1，1]时恒成立. 令g(x)＝x＋(2－2a)x－2a，

2

22

2

xx2xxK12学习教育资源

K12学习教育资源

??g（－1）≤0，则有?

?g（1）≤0，?

?（－1）＋（2－2a）·（－1）－2a≤0，?3即?2解得a≥. 4??1＋2－2a－2a≤0，

2

?3?答案 ?，＋∞?

?4?

1312?2?8.(2017·合肥模拟)若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则

32?3?实数a的取值范围是________.

?1?1

解析 对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋x＋2a＝－?x－?＋＋2a.

?2?4

2

2

?2?当x∈?，＋∞?时， ?3?

f′(x)的最大值为f′??＝＋2a.

3

21令＋2a>0，解得a>－. 99

?2?2

??9

?1?所以实数a的取值范围是?－，＋∞?. ?9??1?答案 ?－，＋∞?

?9?

三、解答题

9.(2016·北京卷)设函数f(x)＝xe＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间. 解 (1)∵f(x)＝xe

a－xa－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＋bx，∴f′(x)＝(1－x)e

a－2

a－x＋b.

?f（2）＝2e＋2，?2e＋2b＝2e＋2，??

由题意得?即?a－2

??f′（2）＝e－1，－e＋b＝e－1，??

解得a＝2，b＝e. (2)由(1)得f(x)＝xe由f′(x)＝e

2－x2－x＋ex，

x－1

(1－x＋e

x－1

)及e

2－x>0知，f′(x)与1－x＋e

x－1

x－1

同号.

令g(x)＝1－x＋e，则g′(x)＝－1＋e.

当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上递减； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上递增， ∴g(x)≥g(1)＝1在R上恒成立，

K12学习教育资源

K12学习教育资源

∴f′(x)>0在R上恒成立.

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 13a2

10.设函数f(x)＝x－x＋1.

32

(1)若a>0，求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

解 (1)由已知得，f′(x)＝x2

－ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0； 当x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.

所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)， 单调递减区间为(0，a).

(2)g′(x)＝x2

－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)， 使不等式g′(x)＝x2

－ax＋2<0成立，

即x∈(－2，－1)时，a

x＋x???max

＝－22，

当且仅当x＝2

x即x＝－2时等号成立.

所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－22).

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11.(2017·承德调考)已知f(x)是可导的函数，且f′(x)e2 017

f(0) B.f(1)>ef(0)，f(2 017)>e2 017

f(0) C.f(1)>ef(0)，f(2 017)

f(0) D.f(1)

f(0)

解析 令g(x)＝f（x）

e

x，

则g′(x)＝??f（x）?f′（x）ex－f（x）（ex）′f′（x）－f（x）?ex??′＝e2x＝ex<0， 所以函数g(x)＝f（x）

e

x在R上是单调减函数，

所以g(1)

f（1）<

f（0）f（2 017）f（0）

e

11

，

e

2 017<1

，

K12学习教育资源

)