2019-2020学年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(文科)(有答案)

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（2）设bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求数列{【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（ I）设数列{an}的公比为q，从而由a

}的前n项和Sn．

=2a2a5及a1+2a2=1可解得q=，a1=，从而解得；

，故

=﹣2（﹣

），从而求

（ II）化简bn=log2a1+log2a2+…+log2an=﹣（1+2+3+…+n）=﹣和．

【解答】解：（ I）设数列{an}的公比为q， 由a

=2a2a5得（a1q2）2=2a1q?a1?q4，

∴q=，

由a1+2a2=1得a1=． 故数列{an}的通项公式为an=

．

，

（ II）bn=log2a1+log2a2+…+log2an=﹣（1+2+3+…+n）=﹣∴

=﹣

=﹣2（﹣

），

）]=﹣

．

∴Sn=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣

18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosC+c﹣2b=0． （1）求∠A的大小；

（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围． 【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理得c2+b2﹣a2=bc，可求cosA=，结合范围0＜A＜π，即可得解A的值．

（2）由（1）可求sinA，由正弦定理可得

=

=

，可求△ABC的周长l=2sin（B+

）

+1．由0，利用正弦函数的性质可求周长的取值范围．

【解答】（本小题满分12分） 解：（1）由已知2acosC+c﹣2b=0， 由余弦定理得：2a?

+c﹣2b=0，…

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整理得c2+b2﹣a2=bc， ∴cosA=，∵0＜A＜π， ∴A=

．…

，…

（2）∵cosA=，∴sinA=

由正弦定理得： ==，…

△ABC的周长：l=1+∵0

∴＜sin（B+

，∴

（sinB+sinC）=1+＜B+

＜

，

[sinB+sin（B+）]=2sin（B+）+1．…

）≤1，…

因此2＜l≤3，故△ABC的周长的取值范围为：（2，3]．…

19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥平面PAD； （2）证明：平面PDC⊥平面PAD；

（3）若AB=1，AD=2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明即可． （2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．

（3）根据条件求出四棱锥的高，利用棱锥的体积公式进行求解即可． 【解答】解：（I）连结AC，则F也是AC的中点， 又E是PC的中点，∴EF∥PA， 又EF?平面PAD，PA?平面PAD， ∴EF∥平面PAD．…

（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， CD?平面ABCD，CD⊥AD， ∴CD⊥平面PAD，…

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.

又CD?平面PCD， ∴平面PDC⊥平面PAD．… （III）取AD的中点H，连接PH， ∵△PAD为等边三角形，∴PH⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， PH?平面PAD， ∴PH⊥平面ABCD．… ∵AD=2，∴PH=∴VP﹣ABCD=×

，

=

．…

20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2． （1）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；

（2）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1，是否存在实数m，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的定义域、导数h′（x），由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值；

（2）mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．从而有φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数m后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值

【解答】解：（1）函数h（x）的定义域为（0，+∞）， ∵h（x）=lnx﹣x+1，∴h′（x）=

，

当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0． ∴h（x）在（0，1）上是单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴h（x）max=h（1）=0，即函数的最大值为0．

（2）若mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1）， 设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，

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又0＜x2＜x1，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减． ∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤设t（x）=

，则t′（x）=

，

，知函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递

增，即t（x）min=t（1）=﹣1．

∴存在实数m≤﹣，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数．

21．已知椭圆E：（1）求椭圆E的方程；

（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为

，求k的取值范围．

过点（0，

），且离心率为．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程

，整理得（3+4k2）

x2+8kmx+4m2﹣12=0，运用判别式大于0和韦达定理，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得垂直平分线方程，求得与坐标轴的交点，可得三角形的面积，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：（1）由题意可得b= 解得a=2，b=

，c=1，

+

=1；

，e==，a2﹣b2=c2，

∴椭圆E的方程为

（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程

，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

此方程有两个不等实根，可得△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0， 整理得3+4k2﹣m2＞0 ①．

由根与系数的关系，可得线段AB的中点坐标（x0，y0）满足 x0=

=﹣

，y0=kx0+m=

，

∴AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+）．

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