高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_3函数的奇偶性与周期性课时作业理

第3讲 函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1．(2017·镇江期末)在函数y＝xcos x，y＝e＋x，y＝lgx－2，y＝xsin x中，偶函数

的个数是________．

解析 y＝xcos x为奇函数，y＝e＋x为非奇非偶函数，y＝lgx－2与y＝xsin x为偶函数． 答案 2

2．(2015·湖南卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则下列结论：

①奇函数，且在(0,1)内是增函数； ②奇函数，且在(0,1)内是减函数； ③偶函数，且在(0,1)内是增函数； ④偶函数，且在(0,1)内是减函数． 其中正确的有________(填序号)．

解析 易知f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则

x2

2

x22

y＝f(x)为奇函数，

又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0,1)上是增函数， 所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0,1)上是增函数． 答案 ①

3．若f(x)＝ln(e＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

解析 由于f(－x)＝f(x)， ∴ln(e

－3x3x＋1)－ax＝ln(e＋1)＋ax，

3x化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0， 3

∴a＝－.

23

答案 －

2

4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)

＝________.

??－f1＋g1＝2，

解析 由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有?

?f1＋g1＝4，?

解

得g(1)＝3.

答案 3

??x5．(2017·南通调研)若函数f(x)＝?

??axx－b，x≥0，x＋2，x<0

(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋

b)的值为________．

解析 法一 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，

??1

f(－2)＝－f(2)，即?

?2?

1－b＝a－1＋2，2－b＝2a－2＋2.

解得a＝－1，b＝2.经验证a＝－1，b＝2满足题设条件，所以f(a＋b)＝f(1)＝－1. 法二 因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，

b??b当x>0时，二次函数的图象顶点为?，－?，

4??2

当x<0时，二次函数的图象顶点为(－1，－a)， 所以－＝－1，－＝a，解得a＝－1，b＝2，

24经验证a＝－1，b＝2满足题设条件， 所以f(a＋b)＝f(1)＝－1. 答案 －1

6．(2017·泰安一模改编)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则

2

bb2

f(4)＋f(5)的值为________．

解析 ∵f(x＋1)为偶函数，

∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，

又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0. 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4. ∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. 答案 2

7．(2017·南通调研)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)

??x1－x，0≤x≤1，

＝?

?sin πx，1

?29??41?则f??＋f??＝________.

?4??6?

3??29??41??解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f??＋f??＝f?2×4－?＋4??4??6??

f?2×4－?＝f?－?＋f?－?＝－f??－f??＝－＋sin ＝.

64646

?

?

7??

?3????7????3????7???

316π5616

答案

5 16

?1?8．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f??＝0，则满足f(x)>0的x的集?2?

合为________．

?1?解析 由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f??＝0，得函数y＝f(x)在 ?2??1?(－∞，0)上递增，且f?－?＝0， ?2?

11

∴f(x)>0时，x>或－

22

???11

答案 ?x?－

2???2

??

? ??

二、解答题

9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0

时，f(x)＝－x.

(1)判定f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式． 解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)． 又f(x)的定义域为R， ∴f(x)是偶函数．

(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]， 则f(x)＝f(－x)＝x；

进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

－x，x∈[－1，0]，??

故f(x)＝?x，x∈0，1，

??－x＋2，x∈[1，2].

2

－x＋2x，x>0，??

10．已知函数f(x)＝?0，x＝0，

??x2＋mx，x<0

(1)求实数m的值；

2

是奇函数．

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解 (1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)＋2(－x)＝－x－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．

2

于是x<0时，f(x)＝x＋2x＝x＋mx， 所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

??a－2>－1，

结合f(x)的图象知?

?a－2≤1，?

22

所以1

故实数a的取值范围是(1,3]．

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11．(2017·苏、锡、常、镇调研)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，

f(5)＝

2a－3

，则实数a的取值范围为________． a＋1

解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，

2a－32a－3a－4

∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，

a＋1a＋1a＋1解得－1

12．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且

f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝________.

解析 y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，

令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)， ∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0， 则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0， 即f(x＋2)＝f(x)，

则函数的周期是2，又f(0)＝2，

则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2. 答案 2

13．(2017·郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)

＝x－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________． 解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，

则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0，

3

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