2019湖北省第二次八校联考数学（理）

13．答案：?6480

解析：m??3cosx

【难度系数】：★

【知识点关键词】：定积分；二项式定理；

14．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足BE?BC，则AEBD?31?012?C5?22?(?3)3??6480. ?6,?ab2c3的系数为C6

＝ ． 14．答案：?2

解析：以A为原点建系，则B(2,0),D(0,1),E(,),?AE?BD??2.

3342【难度系数】：★

【知识点关键词】：向量的数量积；

x2y215．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的渐近线被圆x2?y2?6x?5?0截得的弦长为2，则

ab该双曲线的离心率为 ．

15．答案：6 23ba2?b?3,?a2?2b2,?e?c6?． a2解析：圆心到直线的距离d?【难度系数】：★

【知识点关键词】：渐近线方程；

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n?N?，Sn?(?1)nan?1?n?3且 2n(t?an?1)(t?an)?0恒成立，则实数t的取值范围是 ．

?311?16．答案：??,?

?44?解析:

Sn?(?1)nan?12n?n?3,?Sn?1?(?1)n?1an?1?12n?1?n?4,

?an?(?1)nan?(?1)n?1an?1?①当n为偶数时，an?1?12n?1,

12n?112n?1,?n为奇数时，an?12n?1;

②当n为奇数时，an?1??2an??1??22n?3，

?1?1(n为奇数）?311?2n?1?an??，再代入可求??t?.

44??1?3(n为偶数）??2n【难度系数】：★★★

【知识点关键词】：数列的前n项和；数列的单调性；

5

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足

2bsin(C??6)?a?c．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM?AC，求sin?BAC． 17．解答：（Ⅰ）2sinB(sinC?31?cosC?)?sinA?sinC， 22即3sinBsinC?sinBcosC?sinA?sinC?sinBcosC?cosBsinC?sinC，

?3sinBsinC?cosBsinC?sinC，

?3sinB?cosB?1，所以2sin(B??)?1，得B??． ………6分

63（Ⅱ）解法一：取CM中点D,连AD,则AD?CM,则CD?x，则BD?3x， 由（Ⅰ）知B??3，?AD?33x,?AC?27x，

4x27x21，得. ………12分 ?sin?BAC?sin?BACsin60o7?a解法二：由（Ⅰ）知B?，又M为BC中点，?BM?MC?，

32在?ABM与?ABC中，由余弦定理分别得：

由正弦定理知，

a2aa2ac2AM?()?c?2??c?cosB??c2?,22422

AC2?a2?c2?2ac?cosB?a2?c2?ac,

a2ac3a7又AM?AC，??c2??a2?c2?ac,?c?,?b?a，

42227aa2，得sin?BAC?21. 由正弦定理知，?7sin?BACsin60o【难度系数】：★

【知识点关键词】：三角恒等变换；正弦定理，余弦定理；

18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校

200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼 的时间（分钟） [0,10) 总人数

[10,20)[20,30) 36 [30,40) [40,50) [50,60) 20 44 50 40 10

6

将学生日均课外课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2?2列联表，并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？

课外体育不达标 课外体育达标 20 合计 110 男 女 合计

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差． 参考公式：K=2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?0.10 2.706 ，其中n?a?b?c?d.

参考数据： 2P?K≥k0? k0 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 18 ．解答：（Ⅰ）

K=2200??60?20?30?90?150?50?90?1102?200?6.060?6.635, ………5分 33所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关．

………6分

（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，

?X1B(3,), ………8分

414?34,D(X)?3?14?34?E(X)?3??9． ………12分 16【难度系数】：★

【知识点关键词】：独立性检验；二项分布；

19．(本小题满分12分)已知四棱锥P?ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,

?BCD?90,PA?底面ABCD，?ABM是边长为2的等边三角形，PA?DM?23．

（Ⅰ）求证：平面PAM?平面PDM；

（Ⅱ）若点E为PC中点,求二面角P?MD?E的余弦值． 19．解答：（Ⅰ）?ABM是边长为2的等边三角形, 底面ABCD是直角梯形，

?CD?3, 又DM?23,?CM?3,?AD?3?1?4,

E ?AD2?DM2?AM2,?DM?AM.

7

又PA?底面ABCD,?DM?PA,?DM?平面PAM,

DM?平面PDM，?平面PAM?平面PDM. ………6分 （Ⅱ）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴， 过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D?xyz， 则C(3,0,0),M(3,3,0),P(0,4,23), 设平面PMD的法向量为n1?(x1,y1,z1)， ??3x1?3y1?0则 ?,

??4y1?23z1?0取x1?3,?n1?(3,?3,2). ………8分 E为PC中点，则E（3,2,3)， 2设平面MDE的法向量为n2?(x2,y2,z2)，

?3x2?3y2?01?,取x2?3,?n2?(3,?3,). ………10分 则?32x2+2y2?3z2?0??2uruurn1?n213由cos??uruu．?二面角P?MD?E的余弦值为13． ………12分 r?14n1n214【难度系数】：★

【知识点关键词】：空间中的线面平行，线面垂直的位置关系；空间向量；

20．（本题满分12分）已知抛物线x2?2py上点P处的切线方程为x?y?1?0． （Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设A(x1,y1)和B(x2,y2)为抛物线上的两个动点，其中y1?y2且y1?y2?4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求?ABC面积的最大值．

2x0xx2220．解答：（Ⅰ）设点P(x0,)，由x?2py得y?，求导y'?，

p2p2px0x02?1?0，解得p?2， ?1且x0?因为直线PQ的斜率为1，所以

2pp

所以抛物线的方程为x2?4y． ………4分 （Ⅱ）设线段AB中点M?x0,y0?，则x0?x1?x2y?y2,y0?1, 22 8