高等代数习题

有解的必要条件是行列式

这个条件不是充分的，试举一反例．

5．

有解？

6． 取怎样的数值时，线性方程组

有唯一解，没有解，有无穷多解？

§4.3 线性方程组的公式解

1．考虑线性方程组：

21

这里 2．

．

3．设线性方程组：

（9）

有解，并且添加一个方程：

（9）同解．证明：添加的方程是（9）中

4．设齐次线性方程组

于方程组（9）所得的方程组与

个方程的结果．

的系数行列式 的解都可以写成

，而

中某一元素

的代数余子式

．证明：这个方程组

的形式,此处k是任意数.

5．设行列式

22

是元素

1．计算

的代数余子式.证明:矩阵

的秩 ．

第五章 矩 阵

§5.1 矩阵的运算

；

；；

23

；令

．

2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．

3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：

(i) 设B=(

)是一个n p矩阵．令

=

是B的第j列，

j=1,2,?,p．又设

B =

是任意一个p 1矩阵．证明：

．

(ii)设A是一个m n矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：

A(B )=(AB) ．

(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C． 4．设

A=

证明：当且仅当

B=

24

时，AB=BA。