高等代数习题

的最短距离等于 ．

8．证明,实系数线性方程组

有解的充分且必要条件是向量 与齐次线性方程组

的解空间正交.

9．令

是 维欧氏空间V的一个非零向量．令

．

称为垂直于于

的超平面,它是V的一个 维子空间.V中有两个向量 , 说是位

的同侧,如果 同侧,且两两夹角都

同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面

的非零向量一定线性无关．

[提示:设设

是满足题设条件的一组向量.则 .如果

,那么适当编号,可设

,并且不妨

,

推出

.]

,令 ,证明 .由此

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10．设U是一个正交矩阵.证明: U的行列式等于1或-1;

U的特征根的模等于1;

如果 是U的一个特征根,那么 也是U的一个特征根;

U的伴随矩阵 也是正交矩阵.

11.设 ,且

.

证明, 可逆,并且

12.证明:如果一个上三角形矩阵

是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素 是1或-1.

§8.3正交变换

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