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的最短距离等于 ．
8．证明,实系数线性方程组
有解的充分且必要条件是向量 与齐次线性方程组
的解空间正交.
9．令
是 维欧氏空间V的一个非零向量．令
．
称为垂直于于
的超平面,它是V的一个 维子空间.V中有两个向量 , 说是位
的同侧,如果 同侧,且两两夹角都
同时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面
的非零向量一定线性无关．
[提示:设设
是满足题设条件的一组向量.则 .如果
,那么适当编号,可设
,并且不妨
,
推出
.]
,令 ,证明 .由此
49
10．设U是一个正交矩阵.证明: U的行列式等于1或-1;
U的特征根的模等于1;
如果 是U的一个特征根,那么 也是U的一个特征根;
U的伴随矩阵 也是正交矩阵.
11.设 ,且
.
证明, 可逆,并且
12.证明:如果一个上三角形矩阵
是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素 是1或-1.
§8.3正交变换
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