2012年江苏高考数学试卷含答案和解析

AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．

解答： 解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC， ∵AD?平面ABC， ∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD?平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点 ∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1， ∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD

∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE．

点评： 本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属

于中档题．

17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣

（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮

的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 综合题． 分析：

（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣

（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．

解答：

解：（1）在 y=kx﹣

（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣

（1+k2）x2=0．

由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0． ∴

，当且仅当k=1时取等号．

∴炮的最大射程是10千米．

（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣即关于 的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根． 由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6． 此时，k=

＞0．

（1+k2）a2=3.2成立，

∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．

点评： 本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 18．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点． （1）求a和b的值；

（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点； （3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．

考点： 函数在某点取得极值的条件；函数的零点． 专题： 综合题．

分析： （1）求出 导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．

（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．

（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．

解答： 解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx，得 f′（x）=3x2+2ax+b．

∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，

∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．

（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．

∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0， ∴﹣2是g（x）的极值点．

∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x） 的极值点． ∴g（x）的极值点是﹣2．

（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．

先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]

当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数， ∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．

当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0， ∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根． 由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．

①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2． 此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．

②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数． 又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断， ∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根． 同理，在（一2，一1）内有唯一实根．

③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数． 又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断， ∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．

因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|xi|＜2，i=3，4，5． 现考虑函数y=h（x）的零点：

（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．

（ i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|ti|＜2，i=3，4，5． 而f（x）=ti有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．

综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．

点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学

思想，综合性强，难度大．

19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2

（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （i）若AF1﹣BF2=

求直线AF1的斜率；

（ii）求证：PF1+PF2是定值．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；压轴题． 分析：

（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．

（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=

，用待定系数法求解；

（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，

，由此可求得PF1+PF2是定值．

解答：

（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．

由点（e，）在椭圆上，得

∴，∴a2=2

∴椭圆的方程为．

（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），

又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my． 设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0， ∴由

，可得（m2+2）

﹣2my1﹣1=0．

∴，（舍），

∴|AF1|=

×|0﹣y1|=①

同理|BF2|=②

（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=∵注意到m＞0，∴m=∴直线AF1的斜率为

． ．

，∴

，解得m2=2．

（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．

由点B在椭圆上知，，∴．

同理．

∴PF1+PF2=

=

由①②得，∴PF1+PF2=

，，

．

∴PF1+PF2是定值．

点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．（16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=

，n∈N*，