高中数学创造性思维的培养

证明：∵即

1?2???nn?1?2?n=nn!

nnn(n?1)1??2nn!

∴(n?1n)?n！ 2因此，当n?1999时，原命题成立。

五、正向思维与逆向思维相结合，培养学生的发散思维

在培养学生的创造性思维中，发散思维起到重要作用，它是创造性思维的基础与核心。教师在课堂教学中应积极挖掘课本素材，创造性地处理教材，灵活运用教法，利用正向思维与逆向思维相结合培养学生的发散思维，这是培养学生创造性思维的关键。

（一）通过加强知识的逆向运用培养学生的发散思维

正向学习必不可少，但加强知识逆向运用的训练一样重要。否则遇到一些复杂的问题时学生就会束手无策。

例2 计算Sn?1111。 ?????1?22?33?4n(n?1)111?(?)出发，

n(n?1)nn?1如果从公式的正向出发，很难找到解法。但如果从公式的逆向

很快便可找到解决问题的途径。即：

1111111) 原式=(1?)?(?)?(?)???(?22334nn?1=1?=

1 n?1n n?1可见，引导学生加强知识的逆向运用，可以帮助他们从多角度寻求解决问题的方法打好基础，培养学生的发散思维，进而提高其创造性思维能力。

- 5 -

（二）通过一题多解、一题多变的变式训练培养学生的发散思维

美国数学教育家G．波利亚曾说过：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得学生通过这道题，就好象通过一道门户，把学生引入一完整的理论领域。”这就是说我们教师可选用一些不太复杂的典型题目，从一题多解、一题多变等的变式训练中，培养学生的发散思维。

22x、y?0，且x?y?1，求x?y例3 已知的取值范围。 解答此题的方法比较多，教师引导学生多解后再进行优劣分析比较。 解法一、函数思想解法： 11由x?y?1得y?1?x，则 x2?y2?x2?(1?x)2?2x2?2x?1?2(x?)2? 22由于x?[0,1]，根据二次函数的图象与性质知 当x?11时，x2?y2取最小值；当x?0或1时，x2?y2取最大值1。 22解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用等都可以求函数的最值。 解法二、运用基本不等式解法： 由于x、y?0，且x?y?1 则 xy?(x?y211)?，从而0?xy? 244于是，x2?y2?(x?y)2?2xy?1?2xy 所以，当xy?0时，x2?y2取最大值1；当xy?11时，x2?y2取最小值。 42解法三、三角换元思想解法： - 6 -

由于x?y?1，x、y?0，则可设x?cos2?,y?sin2?,其中??[0,1] 则，x2?y2?cos4??sin4??(cos2??sin2?)2?2cos2?sin2? 111313 =1?(2sin?cos?)2?1?sin22??(1?2sin22?)??cos4?? 2244441于是，当cos4???1时，x2?y2取最小值；当cos4??1时，x2?y2取最大值1。 2同一数学题目，由于其内在的规律或思考的途径不同，可能会有很多不同的解法。因此在例题教学中，教师应该引导学生广开思路，探索多种解法，在发散思维的同时，比较各种解法的优劣，找出最佳解题方法。学生进行一题多解的训练，可以强调思维的发散性，激励学生从不同的思考角度寻求不同解法，有助于开拓其解题思路，培养其思维的灵活性，从而培养学生的发散思维，并可改变学生的定向思维。

同时，教师也要注意一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，也有助于学生应变能力的养成，培养学生的创造性思维。

例4原题：已知定点F1(?4,0)，F2(4,0)和动点M(x,y)，求满足条件|MF1|?|MF2|?10的点M的轨迹方程.

变式1: 已知定点F1(?4,0)，F2(4,0)和动点M(x,y)，求满足条件|MF1|?|MF2|?8的点

M的轨迹方程.

变式2: 已知定点F1(?4,0)，F2(4,0)和动点M(x,y)，求满足条件

|MF1|?|MF2|?2a(a?0)的点M的轨迹方程.

- 7 -

变式3: 已知定点F1(?4,0)，求使得?F1F2M的周长为18的点MF2(4,0)和动点M(x,y)，的轨迹方程. 变式4: 已知定点F1(?4,0)，F2(4,0)，求经过点A(3,12)的椭圆的标准方程. 5变式5: 已知椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称，焦距为8，且经过点A(0,5)，求它的标准方程. 变式1和变式2是椭圆概念的内涵和外延，揭示了椭圆概念的本质；变式3和变式4是为了让学生有目的的开展思维活动；变式5体现了椭圆标准方程的灵活应用。通过这样变式处理，可以唤起学生的学习热情，有效地在短暂的时间内提高学生运用知识的能力和分析问题的能力，锻炼了学生的创造性思维能力。 在例题讲解中运用一题多变，就可以使学生从一个题中获得解题的规律、技巧，从而可以举一反三。由教师或学生选择有代表性的题目进行探索，可以大大促进学生思维的发展。正如G．波利亚所说：“我们如果不用‘题目的变更’，几乎是不可能有什么进展的”。所以我们教学应多从“变”字下功夫，才能更好地培养学生的创造性思维。

（三）通过加强开放性题型的训练培养学生的发散思维

开放性问题具有三个特征：一是条件不足或多余；二是没有确定的结论或结论不唯一；三是解题的策略、思想多种多样。开放性题型具有足够的灵活性和较高的探索价值，被认为是最富有创造教育价值的一种数学问题的题型。我们教师可对现有的教材进行加工，设计一些开放性的问题，甚至可以让学生通过补充条件或补充问题等途径进行开放性编题，从更广、更宽、更深的角度培养学生的发散思维。

- 8 -