2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(文科)附答案

21. 在直角坐标系xOy中，椭圆C：

个顶点为．

（1）求椭圆C的方程；

的离心率为，椭圆短轴上的一

（2）已知点P（1，），动直线y=kx-2与椭圆C相交于A、B两点，若直线AP，BP的斜率均存在，求证：直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列． 【答案】解：（1）由

，解得a=2，

则椭圆C的方程；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由

22

得（3+4k）x-16kx+4=0，由△＞0，有

，

，

则，，

==

，

则kAP+kBP=2kOP，

故直线AP，OP，BP的斜率成等差数列. 【解析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆短轴上的一个顶点为（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由

，求解椭圆方程；

，利用韦达定理求解直线的斜

率，然后推出kAP+kBP=2kOP，得到结果即可．

本题考查椭圆的简单性质的应用椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．

2x

22. 设函数f（x）=xe．

（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；

（2）若f（x）＜ax对x∈（-∞，0）恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）-在区间（n-1，n）上有零点． 【答案】解：（1）∵f′（x）=（x+2x）e， ∴f′（1）=3e，

∴所求切线方程为y-e=3e（x-1），即y=3ex-2e； （2）∵f（x）＜ax，对x∈（-∞，0）恒成立，∴设g（x）=xe，g'（x）=（x+1）e，

令g'（x）＞0，得x＞-1，令g'（x）＜0得x＜-1， ∴g（x）在（-∞，-1）上递减，在（-1，0）上递增， ∴

，

x

x2

x

对x∈（-∞，0）恒成立．

∴；

，当x＜0时，

，

（3）令F（x）=0，得

∴F（x）的零点只能在（0，+∞）上，

在（0，+∞）上大于0恒成立，∴函数F（x）在（0，+∞）上递

增．

∴F（x）在（0，+∞）上最多有一个零点． ∵

，

，

由零点存在的条件可得F（x）在（0，+∞）上有一个零点x0，且

∴n=1．

【解析】（1）求出原函数的导函数，求得f′（1），再由直线方程的点斜式求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；

（2）把f（x）＜ax，对x∈（-∞，0）恒成立，转化为

x

x

对x∈（-∞，0）恒成

立．设g（x）=xe，g'（x）=（x+1）e，利用导数求其最小值，即可求得实数a的取值范围；

（3）令F（x）=0，得

，当x＜0时，不合题意，可知F（x）的零点只能在（0，

+∞）上，利用导数研究其单调性，再由函数零点的判定求得答案． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．