北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习(一模)数学理

?x1x2?(t?2)(x1?x2)?4(t?1)

(x1?2)(x2?2)2t2?4?(t?2)(?2t)?4(t?1)?

(x1?2)(x2?2)?0

故直线TP和直线TQ的斜率和为零 故?TMN??TNM 故TM?TN

故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2

····································································· 14分 故|OM|?|ON|?4 ·

20. （本题满分13分）

······················· 3分 （Ⅰ）A是“N?数表 ”，其“N?值”为3，B不是“N?数表”. ·（Ⅱ）假设ai,j和ai',j'均是数表A的“N?值”，

① 若i?i'，则ai,j?max{ai,1,ai,2,...,ai,n}?max{ai',1,ai',2,...,ai',n}?ai',j'； ② 若j?j'，则ai,j?min{a1,j,a2,j,...,an,j}?min{a1,j',a2,j',...,an,j'}?ai',j' ； ③ 若i?i'，j?j'，则一方面

ai,j?max{ai,1,ai,2,...,ai,n}?ai,j'?min{a1,j',a2,j',...,an,j'}?ai',j'，

另一方面

ai',j'?max{ai',1,ai',2,...,ai',n}?ai',j?min{a1,j,a2,j,...,an,j}?ai,j；

······················ 8分 矛盾. 即若数表A是“N?数表”，则其“N?值”是唯一的. ·（Ⅲ）方法1：

对任意的由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A?(ai,j)19?19.

定义数表B?(bj,i)19?19如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即

bj,i?ai,j（其中1?i?19，1?j?19）

显然有：

① 数表B是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素

·13·

③ 数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素

④ 若数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值. 定义数表C?(cj,i)19?19如下，其与数表B对应位置的元素的和为362，即

cj,i?362?bj,i（其中1?i?19，1?j?19）

显然有

① 数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表C中，cj,i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值 特别地，对由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表A?(ai,j)19?19 ① 数表C是由1，2，3，…，361组成的19行19列的数表 ② 若数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表C中，cj,i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值

1?j?19）即对任意的A??19，其“N?值”为ai,j（其中1?i?19，，则C??19，且其“N?值”为cj,i?362?bj,i?362?ai,j.

记C?T(A)，则T(C)?A，即数表A与数表C?T(A)的“N?值”之和为362， 故可按照上述方式对?19中的数表两两配对，使得每对数表的 “N?值”之和为362， ·························································· 13分 故X的数学期望E(X)?181. ·方法2：

X所有可能的取值为19,20,21,...,341,342,343.

记?19中使得X?k的数表A的个数记作nk，k?19,20,21,...,341,342,343，则

18182nk?192?Ck?1?C361?k?[(18)!].

18182 则n362?k?192?C361?k?Ck?1?[(18)!]?nk，则

E(X)?k?19343?nk?19343k?k?kk?19?n343362?k?k?k?19?n343k?(362?k)?nk?19?n343kk?19?n343，

k·14·

故2E(X)?k?19343?nk?19343k?kk?k?19?n343k?(362?k)?nk?19?n343?362，E(X)?181. ··············· 13分

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