北京市海淀区2019届高三第二学期期中练习（一模）数学理

对任意给定的n，所有“N?数表”构成的集合记作?n．

(I) 判断下列数表是否是“N?数表”．若是，写出它的一个“N?值”；

?123??147?????A??456?，B??825?

?789??693????? (Ⅱ)求证：若数表A是“N?数表”，则A的“N?值”是唯一的；

(Ⅲ)在?19中随机选取一个数表A，记A的“N?值”为X，求X的数学期望E(X)．

海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(理)参考答案与评分标准 2019.4

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项。

题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

题号 答案 9 1?i 10 5 211 2 12 3 31 313 48 14 (?3,3] x??1 注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。

三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。 15. （本题满分13分） （Ⅰ）f()?23sin??66cos?6?2cos2?62?1

?3?13?23???2???1 ???22?2?··················································································· 3分 ?2 ·

（Ⅱ）f(x)?3sin2x?cos2x

·5·

?2sin(2x??6)

因为函数y?sinx的单调递增区间为?2k??令2k?????2,2k????（k?Z）， ?2??2?2x??6?2k???2（k?Z），

解得 k???3?x?k???6（k?Z），

故f(x)的单调递增区间为[k??

16. （本题满分13分）

?,k??]（k?Z） ···························· 13分

36?（Ⅰ）设事件A：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用Ai表示事件抽取的月份为第i月，则

,A ??{A12}个基本事件， 1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A1共1 A?{A6个基本事件， 共2,A6,A8,A9,A10,A1} 所以，P(A)?61?. ···································································· 4分 122（Ⅱ）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0，1，2.

2112C4C2C48C2621?，P(X?1)?2?，P(X?2)?2? P(X?0)?2?C6155C615C615 随机变量X的分布列为

X P

0 2 51 8 152 1 15················································ 13分 （Ⅲ）M的最大值为58%，最小值为54%. ·

17.（本题满分14分） （Ⅰ）方法1：

·6·

PA

COB设AC的中点为O，连接BO，PO. 由题意

PA?PB?PC?2，PO?1，AO?BO?CO?1

因为 在?PAC中，PA?PC，O为AC的中点 所以 PO?AC，

因为 在?POB中，PO?1，OB?1，PB?所以 PO?OB 因为 AC2 OB?O，AC,OB?平面ABC

所以 PO?平面ABC

································································ 4分 因为 PO?平面PAC·所以 平面PAC?平面ABC 方法2：

PA

COB设AC的中点为O，连接BO，PO.

因为 在?PAC中，PA?PC，O为AC的中点 所以 PO?AC，

因为 PA?PB?PC，PO?PO?PO，AO?BO?CO

所以 ?POA≌?POB≌?POC 所以 ?POA??POB??POC?90? 所以 PO?OB 因为 ACOB?O，AC,OB?平面ABC

所以 PO?平面ABC

································································ 4分 因为 PO?平面PAC·所以 平面PAC?平面ABC

·7·

方法3：

PAQ

COB设AC的中点为O，连接PO，因为在?PAC中，PA?PC， 所以 PO?AC

设AB的中点Q， 连接PQ，OQ及OB. 因为 在?OAB中，OA?OB，Q为AB的中点 所以 OQ?AB.

因为 在?PAB中，PA?PB，Q为AB的中点 所以 PQ?AB. 因为 PQOQ?Q，PQ,OQ?平面OPQ

所以 AB?平面OPQ 因为 OP?平面OPQ 所以 OP?AB因为 ABAC?A，AB,AC?平面ABC

所以 PO?平面ABC

································································ 4分 因为 PO?平面PAC·所以 平面PAC?平面ABC

（Ⅱ）由PO?平面ABC，OB?AC，如图建立空间直角坐标系，则

zPAB xCOyO(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(?1,0,0)，P(0,0,1)

由OB?平面APC，故平面APC的法向量为OB?(0,1,0)

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