高中物理竞赛教程(超详细) 第十讲 几何光学

整理后得到

如果半径与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两不同的折射率来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积在起作用，而不是色散（）。因折射率大于1，于是括号内的数值小于1，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。

结果讨论：首先，透镜不可以是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，和之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。

如果要求的不是f而是（f-h）对两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。

例7、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的最相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图1-3-29所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。 1、求插入玻璃板后，像的新位置。 2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，若要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？ 解: 解法1

1、折射率为n，厚度为d 两面平行的玻璃板，对于会聚在像点的傍轴光束的折射作用可如下方法求出：如图1-3-30，取任一指向点的傍轴光线C，此光线经平行玻璃板折射的光路为CDE，在平板第一面的入射角i与折射角r均为小角度，反向延长E交D点处的法线于F，容易看出，DE为平行四边形，则

平行板厚度d为 得

因为i与r都很小，所以 故得

以上结果对任何会聚于点的傍轴光线均成立，所以向轴上点会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上点。在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向移动距离，由题给数据得

故像成在镜头后面12.0+0.3=12.3（cm）处。 2、设照像机镜头焦距为f， 不放玻璃板时有 1/228+1/2=1/f，

可得 f=11.4cm。 插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头12cm处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成像在镜头后面v处，即

v=12.0-0.3=11.7(cm)。 设这时物距为u，则 1/u+1/11.7=1/11.4，

得 u≈4.45m。

即：物体置于镜头前4.45m时，插入玻璃板后，仍可在胶片上得到清晰的像。 解法2

1、对于玻璃板第一面上的折射，其物距为 ，，

根据公式 （见图1-5-31） 可得

对于玻璃板第二面上的折射，（见图1-3-32） 其物距为 又根据 可得

故像成在镜头后面的像距为

比原像向后移动△v，即

2、设照像机镜头焦距为f，不插入玻璃板时， 1/f=1/228+1/12， 得 f=11.4cm。 要使放上玻璃板后，像还成在离镜头12cm处的胶片上，可采用个光路可逆性原理从已知像的位置，求此物体应在的位置。 对于玻璃板第二面上的折射： 已知：像距，，，设与之相应的物为，则可得

对于玻璃板第一面上的折射： 已知：像距，，，设与之相应的物为P，则可得

对于凸透镜，像距为v=8.6+3.1=11.7(cm) ，则此时物距为u，则有 1/u+1/11.7=1/11.4， u=4.45m。

即物体应放在照相机镜头前4.45m处，才能在胶片上得到清晰的像。

例8、有两个焦距分别为和的凸透镜。如果把这两个透镜做适当的配置，则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像，如图1-5-33所示。试求出满足上述要求的配置方案中各透镜的位置。 分析: 首先，我们应根据题目给出的条件，分析得出物经透镜、所成像的虚、实与大小，从而得出光学系统的配置关系；然后再运用透镜成像公式求出光学系统中物、、位置的具体距离与、的数量关系。

解: 设光线由左向右，先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去考虑，光线经过第2个透镜后将继续向右传播，所以最后成的像必为虚像才能满足题设要求。由此判定，作为透镜2的\物\必在其左侧，物距小于透镜2的焦距，并且是倒立的。再考虑到透镜2的\物\应该是透镜1对给定的傍轴物体所成的像（中间像），它只能是给定物的倒立实像，必然成像在透镜1的右侧。（由于最后的像与原物同样大小，还可以肯定中间像一定是缩小的。）以上分析表明，光线系统的配置如图1-5-28所示。 根据图上标明的两透镜位置和物距、像距，有

① 因最后像为虚像，则 ②

又因物、像大小相等，则 ③ 由③得

代入①②并经过化简可得 ，

因题图中要求，故必须。由以上分析可知，要取焦距较小的透镜（即如，取透镜a，反则反之）作透镜，放在物右方距离u处，而把焦距较大的透镜作为透镜放在透镜右方距离d处，就得到题所要求的配置方案。

例9、焦距为20cm的薄凸透镜和焦距为18cm的薄凹透镜，应如何放置，才能使平行光通过组合透镜后成为

1、平行光束；2、会聚光束；3、发散光束；（所有可能的情况均绘图表示）。

解: 设凸透镜主焦点为；凹透镜主焦点为。 1、平行光束

（1）凸透镜在前时，d=2cm，d为两透镜间距离（见图1-5-34）。

（2）凹透镜在前时，d=2cm，根据光路可逆性原理，这相当于把前面的系统反过来。 2、会聚光束。

（1） 凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-35）。

（2） 凹透镜在前时d＞2cm（图1-5-36）。 3、发散光束

（1）凸透镜在前时，d＞2cm（图1-5-37）

（2）凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-38） 凹透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-39）

10、焦距f的数值均相同的三个薄透镜、与 ，依次为凸透镜、凹透镜与凸透镜，它们构成一个共轴光学系统，相邻透镜间的距离均为d，各透镜的光心分别为，如图1-5-40所示，在透镜左方，位于主光轴上的物点P，经过此光学系统最终成像于透镜右方的Q点 若距离，则物点P与透镜的距离应为多少？ 分析: 此题按陆续成像考虑，一个一个透镜做下去也能得出⑥式的解，但列式子时容易出错，不如考虑对称性的解法，有清晰的物理图像，求解主动。

此题的⑦式的解也以用\经成像\的思路解出最为简明，但能这样想必须以\透镜成像时，若物距为零则像距也为零\作为已知结论才行。

解:（1）该系统对凹透镜而言是一左右对称的光学系统。依题意，物点P与像点Q处于对称的位置上，即对凹透镜而言，物点及经它成像后的像点应分居的两侧，且物距与像距相等。即

1 代入凹透镜的物像公式

2 解得 3

物距与像距均为负值表明：物点P经透镜成像后，作为凹透镜的物点位于它的右侧，因而是虚物，经凹透镜成像于它的左侧，为一虚像，虚像点与虚像点的凹透镜位于对称位置（图1-5-41）

4 代入凸透镜的物像公式 5 解出

（2）由②式，凹透镜的像距可表示为

当物点由右向左逐渐趋近于时，即物距由负值逐渐增大而趋于零时，像距亦由负值逐渐增大趋于零，即像点由左向右亦趋近于。即时，当时，，即对凸透镜而言，像距，参见图1-5-42，代入⑤式 解得：

7

此结果表明，当物点P经过透镜后恰成像于透镜的光心上，由系统的对称性，可知经透镜后，将成像于对称点Q。像距数值为

由此可知⑥式与⑦式均为所求的解，但对⑦式的结果，透镜间距d必须满足条件 8

这也可以从另一角度来考虑，当P通过成像正好在的光心处时，它经过的像仍在原处，即。这样也可得到上面的结果。

例11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率n=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。