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可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为 （4）

或 （5） 现在计算，利用（3）式可得

由（1）式可得 由此

又由（1）式 （6） 由图及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，α越大则γ越小。因此，如果与α值最大的光线相应的γ设为，则任何光线都不能射出液面。反之，只要，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。

自C点发出的α值最大的光线是极靠近CD的光线，它被DB面折射后进入液体，由（6）式可知与之相应的；

能观察到亮点的条件为 即 上式可写成 取平方 化简后得 故

平方并化简可得

这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与φ之间应满足条件。 例4、如图1-3-19所示，两个顶角分别为和的棱镜胶合在一起（）。折射率由下式给出： ； 其中

1、确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长。确定此情形的折射率和。

2、画出入射角相同的、波长为、和的三种不同光线的路径。 3、确定组合棱镜的最小偏向角。

4、计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。 解: 1、如果，则从不同方向到达AC面的波长为的光线就不折射，即 因而

在此情形下 。

2、对波长比长的红光，和均小于1.5。反之，对波长比短的蓝光，两个折射率均比1.5要大。现在研究折射率在AC面上如何变化。我们已知道，对波长为的光，。

如果考虑波长为而不是的光，则由于，所以 。同理，对蓝光有。现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了（图1-3-20）。

3、对波长为的光，组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为n=1.5的单一棱镜。 我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图1-3-21中的α角相等时发生。 根据折射定律，

因而 偏向角为

4、利用图1-3-22中的数据，可以写出 ； 消去α后得

经变换后得

这是的二次方程。求解得出

例5、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为，液体对绿光的折射率为。当容器壁的内、外半径之比r：R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？ 分析: 所谓\从容器侧面能看到容器壁厚为零\，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射。因为题中未给出、的大小关系，故需要分别讨论。

解: （1）当时，因为是要求r：R的最小值，所以当时，应考虑的是图1-3-23中ABCD这样一种临界情况，其中BC光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

设此时容器内壁半径为，在直角三角形BCO中，。当时，C处不可能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当时，荧光液体中很多点发出的光都能在C处发生临界折射，所以只要满足

即可看到壁厚为零。 （2）当时

此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁，只要在CD及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足条件仍然是。 （3）当时

因为，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90°的临界折射，因此当时，所看到的壁厚不可能为零了。当时，应考虑的是图1-3-24中ABCD这样一种临界情况，其中AB光线的入射角为90°，BC光线的折射角为，此时应该有

在直角三角形OBE中有

因为图1-3-23和图1-3-24中的角是相同的，所以 ，即

将代入，可得当

时，可看到容器壁厚度为零。

上面的讨论，图1-3-23和图1-3-24中B点和C点的位置都是任意的，故所得条件对眼的所有位置均能成立（本段说明不可少）。 例6、有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为=10cm的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？ （2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）。 分析: 首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。 解: （1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图1-3-25所示，图中为左端球面的球心。 由正弦定理、折射定律和小角度近似得 ①

即 ②

光线射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心一定在端面顶点B的左方，B等于球面的半径，如图1-3-25所示。

仿照上面对左端球面上折射的关系可得 ③

又有 ④ 由②③④式并代入数值可得 ⑤

即右端应为半径等于5cm的向外凸面球面。

（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、b表示，令a过，b过A，如图1-3-26所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点。现在求M点的位置。在中 ⑥

又 ⑦ 已知、均为小角度，则有 ⑧ 与②式比较可知，，即M位于过 垂直于主光轴的平面上。上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出，从M射向的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为。 ⑨ 由②③式可得

则 ⑩

例7、在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心离镜面为3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到鱼的两个像的相对速度。水的折射率n=4/3。见图1-3-27和图1-3-28。

解: 鱼在1秒钟内游过的距离为v。我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦角度本身去近似。 在点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像（图1-3-27）。从点以角度发出的光线，在A点的水中入射角为v，在空气中的折射角为，把出射光线向相反方向延长给出虚像位置。显然

从三角形，有

利用通常的近似 ， 于是

所以这个虚像与球心的距离为

水的折射率n=4/3，从而。若折射率大于2，则像是实像。由像距与物距之商得到放大率为

对水来说，放大率为2。

以与速度v相应的线段为物，它位于在E处平面镜前距离为2R处，它在镜后2R远的处形成一个与物同样大小的虚像离球心的距离为5R。在一般情形中，我们设。的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定的实像而无需再去考虑平面镜。 我们需要求出以γ角度从发出的光线在C点的入射角ε，其中在三角形中 ，

玻璃中的折射角为

需要算出角。因为

而且与C点和D点的两角之和相加，或与和之和相加，两种情况下都等于180°，因此 即 从三角形，有 此外

因此像距为

若k=5，n=4/3，得