角的概念的推广教案

复习提问：锐角三角函数，特殊角的三角函数值.

新课： 第2节 角的概念的推广 弧度制

一 角的概念的推广

如图2.2-1所示，角?可以看成是一条射线由原来位置OA，绕着它的端点O旋转到另一位置OB而形成的．旋转开始时射线所在的位置OA叫做角?的始边，旋转终止时射线所在的位置

OB叫做角?的终边，射线的端点O叫做角?的顶点．

BαAO

为了区别射线绕端点旋转的两个方向，不妨规定：射线按逆时针方向旋转而成的角叫做正角，按顺时针方向旋转而成的角叫做负角，不作任何旋转所成的角叫做零角．

角的概念包含射线旋转的方向和数量两部分，用正负来表示射线旋转的方向．用小写希腊字母?，?，?，?，…来表示角旋转的数量．如一个角按逆时针方向旋转半周记为?180，按顺时针方向旋转两周记为?720．

为方便起见，一般把角的始边放在x轴的正半轴上，使角的顶点与坐标原点重合．角的终边落在第几象限的内部，就说这个角是第几象限的角，如果角的终边落在坐标轴上，就说这个

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角不属于任何象限．如图2.2-2所示的?1?135是第二象限的角．?2??150o是第三象限的角．?3?390是第一象限的角．

yα3α1Oα2x

图2.2-2

在直角坐标系中和?角终边相同的角有无数多个，它们彼此相差360的整数倍，可用集合形式表示为

360＋?，k?Z｝｛?｜??k·．

如与角60，?12516?终边相同的角的集合分别为

360＋60，k?Z｝360?125o16?，｛?|??k·，｛?|??k·k?Z｝．

例1 写出与1200角终边相同的角的集合，并把其中在

?360～360之间的角写出来．

解：与角360终边相同的角的集合为

360＋1200，k?Z｝ ｛?|??k·

2

360＋120，即 ｛?|??k·k?Z｝

其中在?360到360间的角有(?1)?360＋120??240

0?360＋120?120

例2 在0～360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断下列各角是哪个象限的角．

（1）1330 （2）?95012? 解：（1）因为1330?3?360＋250，所以1330的角与250的角终边相同，它是第三象限的角．

（2）因为?95012??(?3)?360＋(?12948?)，所以?95012?的角与?12948?的角终边相同，它是第二象限的角．

二 弧度制

把一个周角360等分，规定每份为1的角，这种用度做单位来度量角的方式叫做角度制．把长度等于半径的圆弧所对的圆心角，规定为1弧度的角，记作1弧度或1rad（弧度的符号是rad），简记作1．以弧度为单位来度量角的方式叫做弧度制．在数学和科学研究中，常常采用弧度制．

如图2.2-3所示，设圆的半径为r，弧AB?r，那么

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?AOB?1rad；弧AC?2r，那么?AOC?2rad；弧AD?1r，2那么?AOD?1rad． 2CBDAOr

图2.2-3

一般地，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角?的大小为

??，

即圆心角的弧度数等于该角所对弧长与圆半径之比． 一个周角，按角度制定义为360，而按弧度制定义为

2πr?2πrad，显然有 rlr

360?2πrad，

即π?180，

则得到角度与弧度的换算关系

1?πrad≈0.01745rad 180180o1rad?≈57.3?5718?

π

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