专题三：高考数列综合与立体几何客观题举例（完整版）

由于1?a1?a2???an，∴anan?an，故anan?A. 从而1?anan?A，∴a1?1.

∵1?a1?a2???an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,?,n?.

由A具有性质P可知

anananan?1anan?1anan?1ana2ana2ana2anak?A?k?1,2,3,?,n?.

又∵

anan?????ana1，

ana1∴

?1,?a2,??an?1,?an，

从而

anan?????ana1?a1?a2???an?1?an，

∴

a1?a2???ana1?a2???an?1?1?1?an.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有

a5a4?a2,a5a3?a3，即a5?a2a4?a32，

∵1?a1?a2???a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A，

由A具有性质P可知

a3a2a4a3a4a3?A.

由a2a4?a32，得

a5a4a4a3a3a2a2a1??A，且1?a3a2?a2，∴

a4a3?a3a2?a2，

∴

????a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列.

文科：（10题）（5分）若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则a5? ；前8

项的和S8? .（用数字作答）

（20题）（13分）设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N?,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值.

（Ⅰ）若p?12,q??13，求b3；

（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.

（Ⅰ）由题意，得a111n?2n?13，解2n?3?3，得n?203.

∴1n12?3?3成立的所有

n中的最小整数为7，即b3?7.

（Ⅱ）由题意，得an?2n?1，

对于正整数，由am?1n?m，得n?2.

根据bm的定义可知

当m?2k?1时，b*m?k?k?N?；当m?2k时，bm?k?1?k?N*?. ∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m?

??1?2?3???m????2?3?4????m?1??m?m?1?m?m?3???2?2?m2?2m.

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?m?qp.

∵bm?3m?2(m?N?),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m 都有

3m?1?m?qp?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立.

当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m??p?qq3p?1（或m??2p?3p?1），

这与上述结论矛盾！ 当3p?1?0，即p?13时，得?23?q?0??13?q，解得?23?q??13.

∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)；

p和q的取值范围分别是p?13，?23?q??13.

10届：

理科（2题）（5分）在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m=（

）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12 文科（16题）（13分）已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。

（Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式 高考分析预测思考：

1、可以看出，成逐年递减趋势，那么，今年呢？

2、理科压轴题出现较多；填空最后一题出现较多。填空题往往与归纳推理等相结合。注意几小问的联系，往往第一问归纳的规律给第二问做样子。

3、几点思考：理科第二种综合题压轴可能性大些。否则，只可能挤掉三角函数大题或者是用集合、函数、不等式综合压轴。文科应该保持不变。

数列问题概要简述：

一、数列的基础：1、概念定义及归纳思想；2、特殊数列（等差、等比）问题；3、“和式”问题；4、求和问题；5、递推问题；

二、数列的综合：1、自身综合；2、与集合（语言）、函数（本质）、不等式（形式）的综合。 三、推理与证明：1、归纳；2、类比；3、思想方法。 综合题举例：

1、（灵活机变能力）已知数列?an?中，a1?1，a2?a?1(a?0且a?1)，其前n项和为Sn，且当n?2时，

1Sn?1an?1an?1．

（Ⅰ）求证：数列?Sn?是等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）若a?4，令bn?9an(an?3)(an?1?3)3?5an?1，记数列?bn?的前n项和为Tn．设?是整数，问是否

?78存在正整数n，使等式Tn?请说明理由．

解：（Ⅰ）当n?2时，

1Sn?1an?成立？若存在，求出n和相应的?值；若不存在，

1an?1?1Sn?Sn?1?1Sn+1?Sn，

化简得Sn2?Sn?1Sn?1(n?2)，

又由S1?1?0,S2?a?0，可推知对一切正整数n均有Sn?0， ∴数列?Sn?是等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列?Sn?的首项为1，公比为a， ∴Sn?an?1．

当n?2时，an?Sn?Sn?1?(a?1)an?2， 又a1?S1?1，

(n?1),?1,∴an?? n?2(a?1)a,(n?2).?（Ⅲ）当a?4,n?2时，an?3?4n?2，此时

bn?9an(an?3)(an?1?3)?9?3?4(3?4n?2n?2n?1?3)(3?4?3)

?3?4(4n?2n?2n?1?1)(4?1)?14?n?2?1?14n?1?1，

又b1?9a1(a1?3)(a2?3)38，

?3,??∴bn??811??,n?2n?1??4?14?1T1?b1?38(n?1)

(n?2)，

当n?2时，

Tn?b1?b2???bn?7814n?138?(142?2?1?142?1?1)???(14n?2?1?14n?1?1)

???1．

3?5an?13?5an?1?7878若n?1，则等式Tn?若n?2，则等式Tn???为?83?5?178，???52不是整数，不符合题意．

?78?为?87?5?4n?14n?1?1，??5?54n?1?1

是整数，∴4n?1?1是5的因数．

54n?1∴当且仅当n?2时，

?1是整数， ∴??4