截长补短法培优第二课时（学生练习）

“截长补短法”在几何证明中的运用专题

万全县第三初级中学 李彦军

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系；截长补短法有多种方法。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线；

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等；… 补短法：

（1）延长短边；

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起；…

引例：已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

ADFBCE

例1.以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分?DOE．

DAEDFOBCBOCAE

例2.如图所示，?ABC是边长为1的正三角形，?BDC是顶角为120?的等腰三角形，以D为顶点作一个60?的?MDN，点M、N分别在AB、AC上，求?AMN的周长．

ANMDBC

例3.如图所示，在?ABC中，AD是?BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB?PC与AB?AC的大小，并说明理由．

AP

【补充】在?ABC中，AB?AC，AD是?BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：AB?AC?PB?PC．

ABCDP

【补充】如图，?ABC中，AB?AC，?A?108?，BD平分?ABC交AC于D点．求证：BC?AC?CD．

ADBDCBC

【补充】如图所示，在?ABC中，AD平分?BAC，AD?AB，CM?AD于M，求证AB?AC?2AM．

ABDMC

【补充】已知等腰?ABC，?A?100?，?ABC的平分线交AC于D，则BD?AD?BC．

AF1B2EC3D

截长补短强化训练

1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

AC

BD

2、如图，已知在ABC内，?BAC?60，?C?400，P，Q分别在BC，CA上，并且0AAP，BQ分别是

?BAC，?ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

C

3、已知ABCD，连接ＡＣ，ＡＣ＝ＡＢ，Ｅ为线段ＢＣ上的一动点，Ｆ为直线ＤＣ上一动点，且?EAF??B。 （１）如图（１），当?B?600时，求证：ＣＥ＋ＣＦ＝CA。 DA

F

CEB

4、已知ABC，有一个以P为顶点的角，且?APE?PBQ1?ACD，将此角的顶点放在边BC上，角的一边始终经过2A点A，另一边与?ACB的外角的平分线交于点E。

（1）如图1，当ABC三角形为等边三角形时，求证：CP+CE=CA。

5、在ABC中，?B?2?C，且AD?BC于D，求证：CD=AB+BD EBPCDABDC6、如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：AB=AC+CD. 变式：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=AC+CD.求证：AD平分∠BAC. ACDB

7、已知，在中ABC，?C=900，AC=BC，直线ｌ绕点Ａ旋转，过点Ｂ，Ｃ分别向直线ｌ做垂线，垂足分别是点Ｄ、点Ｅ。

（１）如图１，求证：ＢＤ＋ＣＥ＝ＡＥ；

（２）当直线ｌ绕点Ａ顺时针转到如图２，则ＢＤ、ＣＥ 、ＡＥ 之间满足的数量关系是 B l lDB D E AC E AC 8、如图所示，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，∠ABC=90°，∠C=30°，BE⊥AD于E点，求证：AC-AB=2BE. AEBDC

9、在中RtABC中，?ACB?900，AC=BC，点P为BC所在直线上一点，分别过点B、C作直线AP的垂线，垂足分别为点D，X。

（1）当点P在线段BC上时，如图1，求证：AD?BD?2CE

（2）当点P在CB的反向延长线上时，如图2，线段AD、BD、CE三者之间满足的数量关系是

CCPEADAENDBBP

10、已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，

求证：FG＋DC＝AD；

（2）如图 2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关

系是 ；

11、Rt?ABC中，?ACB?900,AC?BC,点D为直线BC上一点，CH?AD于H,直线CH与直线AB交于点P，作?BPE??APC，射线PE与直线BC交于点E。 （1）当点D在BC上时，如图1，求证：2CD?DE?AC

（2）当点D在的CB延长线上时，如图2，请直接写出线段CD，DE，AC的数量关系 。 （3）在（2）的条件下，设PE与AC交于点G，并且AG?CG，PG?求的长MN的长。

E5，连接DG，分别交CH、AB于点M、N，

DCCDHEBBAHPA

P