专题04 三角函数的应用-名师揭秘2020年高考数学(文)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量(原卷版)

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专题04三角函数的应用

一、本专题要特别小心：

1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减） 2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况

3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几 4.五点作图法的步骤 5.利用图象求周期 6.已知图象求解析式 二【学习目标】

1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．

2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 三．【方法总结】

1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系.

另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式. 2.三角函数的单调性

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由ππ

2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间.

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若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上.

(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：

(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B， (2)y＝A(sin x－a)2＋B，

(3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0). 四．【题型方法】

（一）利用三角函数测量应用

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例1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75?，30?，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )

A．30(3?1)m C．180(2?1)m

B．120(3?1)m D．240(3?1)m

练习1. 习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚A测得山顶B的仰角为着倾斜角为

的斜坡向上走了40米后到达C，在C处测得山顶B的仰角为

，则山高

，他沿

约为______米.

（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：.

（二）与圆有关的三角函数应用

例2. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，?APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

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A．4β+4cosβ

B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ

练习1．如图，四边形ABCD内接于圆O，若AB?1，AD?2，

3BC?3BDcos?DBC?CDsin?BCD，则S△BCD的最大值为（ ）

A．

7 4B．72 4C．73 4D．

7 2练习2.位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中

与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动

（ ）

分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则

A．16分钟

B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟

练习3.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点

在半径为1的圆上，且

，分别以

各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和

构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．

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（三）

模型的应用

例3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈

的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份

价格最低为5千元，根据以上条件可确定A．C．

练习1. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：现采集到下列信息：最高油价80美元，当

练习2.为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心O后转向ON方向，已知∠MON＝

(美元)(t(天)，

，

)，

的解析式为( ) B． D．

(天)时达到最低油价，则的最小值为________．

uuur3?，现准备修建一条城市高架道路L，L在4MO上设一出入口A，在ON上设一出口B，假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．

（1）求两站点A，B之间的距离；

（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．因考虑未来道路AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？

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