中考最值问题讲义

中考最值问题讲义

“最值”问题：就是求一个变量在某范围内取最大或最小值的问题。与几何有关的最小值（或最大值）问题，是几何计算问题的重要题型.由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 1.求最值问题的基本方法：

（1）特殊位置与极端位置法； （2）利用函数模型求最值 （3）几何定理（公理）法；

① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；

③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径最长。

1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-1，1），则ab有 A．最大值 1 B．最大值2 C．最小值0 D．最小值?1 42.如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=3，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）.

33 B．6 C． D．23

223.在平面直角坐标系xOy中，点P在由直线y??x?3，直线y?4和直线x?1所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为R(2,2)，则QP?QR的最小值为（ ）.

A．

A．17 B．5?2 C．35 D．4 4.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线 l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值是 ．

5.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________；若将△ABP的PA边长改为22，另两边长度不变， 则点P到原点的最大距离变为________. A6.如图，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°， 矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上.

C（1）若C、D恰好是边AO、OB的中点，矩形CDEF的面积为_______； （2）若tan?CDO?4，矩形CDEF面积的最大值为___________. 3DFEB7、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上O一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_______㎝（结果不取近似值）. 8、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD?PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A D A．23 B．26 C．3 D．6

B

P E C

1

9、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．

10、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ） A、21717

B、

48C、 1717D、3

1717

11. 如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在

要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

★、如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90o，AC＝5，BC＝4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为 ．

★、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为?(0°＜?＜180°)，得到△A1B1C．设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．

★、以数轴上的原点O为圆心， 3为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°， 另一个扇形是以点P 为圆心， 5为半径，圆心角∠CPD=60°，点P 在数轴上表示实数a，如图，如果两个扇形的圆弧部分( 弧AB和弧CD )相交,那么实数 a的取值范围是 ．

★如图，⊙O的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是AN

MABOPN 的中点，P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为__________.

2

★如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 ．

12.如图，在△ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PD∥AB，交AC于点D，连结BD．

（1）如图1，若∠C=45°，请直接写出：当

BP= 时，△BDP的面积最大； PC（2）如图2，若∠C=α为任意锐角，则当点P在BC上 时，△BDP的面积最大？

A

AD D CBBCP P图2 图113.已知，如图，抛物线y?ax2?bx?4(a?0)与y轴交于点C，与x轴交

0)，对称轴是x??1． 于点A，B，点A的坐标为(?4，（1）求该抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的动点，过点M作MN∥AC，分别交y轴、BC于点P、N，连接CM．当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

S?CPN（3）在（2）的条件下，求的值.

S?ABC

14. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y??416，（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速x?，点A、D的坐标分别为（－4，0）

33运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终

点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.

y （1）求出点C的坐标；

（2）求S随t变化的函数关系式； D C （3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.

Q

A P B x O

15、定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

3

（1）如图1，若F1：y?x，经过变换后，得到F2：y?x?bx，点C的坐标为(2，0)， 则①b的值等于______________；②四边形ABCD为（ ） A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形

（2）如图2，若F1：y?ax?c，经过变换后，点B的坐标为(2，c?1)，求△ABD的面积；

2221227x?x?，经过变换后，AC?23，点P是直线AC上的动点，求点P333到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F1：y?

16、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y?ax2上．

(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

(2) 平移抛物线y?ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；

② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

17．如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，?OAB?90?，OA?2,AB?负方向平移2OA的长度后得到△DCE.

4

3，把△OAB沿x轴的2