数学分析四复习讲义期末必过

?kan?0(n??) （两边夹）

（2）limn1?n??1 （=1） n11?1??1 2n 证：n>2 :

n1n1?1??n1?1 2n

（3）

limn??(111??......?) （=0） 222n(n?1)(2n) （4）

limn??(1n?12?1n?22?....?..12n?n （=1）

)基本思想1、放缩

2、两边夹

3、不等式性质的灵活运用，例如几何平均小于算术平均、Cauchy-schuaz不等 式、裂项法、等差等比数列求和、错位相减等。

?p! （5）limn??p?1nn!(?1)

[I?n!?(n?1)!?......?1!1111n?2?1???......??1??]

n!nn(n?1)n!nn(n?1) （6）lim132n?1??......(?0) n??242n [0?I?1?3?......?(2n?1)1?]

1?33?5(2n?1)(2n?1)2n?11?3?1?3 2 2=

例4：设ai?0(i?1,2,......m)，证明

lim?ann??i?1mni?max(ai)1?i?m（=M）

[A?I?Anm]

例5：已知

liman??nlim?a,证明

n??[n,an]?a1n[an??I?an]

n 方法：利用数列本身极限或子列的极限构造两边夹 例6：证明：已知

liman??n?a?0,则

limn??nan?1

思想：当n足够大时（n>N）:m1a?an?m2a

m1a?an?N?m2a,?n?1成立（不用亦可） 三、数列极限存在的条件

定理1：（单调有界原理）有界的单调数必有极限 证明：以单调递增为例

设{an}单调递增有上界

则由确界原理，可设??sup{an} 下证liman??

n?? ???0，由上确界定义?n?1,an?????? 又对?-???,?an s.t. ????aN

注意到{an}单调递增，故当n>N时，有????aN?an 从而?n?N:????an???? 即 an???? 证毕

定理2：任何数列都存在单调子列。 P39/例5 自看 定理3：（致密性定理，又称紧性定理）任何有界数列必有收敛的子列

例7：证明：若an?0，且

求极限方法 an?limn??an???1,an?0liman?1，则n??

an?an?1 an?1 设liman?a a?la?a?0

n??定理4：柯西收敛准则

liman??n?a????0,?N?0,s.t?n,m?N:an?am??

（或liman?a????0,?N?0,s.t?n?N,?p?N:an?p?an??）n??注：①理论上完全解决了数列极限的存在性问题

“?” 证明思想：定义 “?”

Cauchy条件?有界性?致密性 limxnk??

n?? ?再利用Cauchy条件xn???xn?xnk?xnk????[学生自证] ②验证极限存在的优越性，不需知道极限值a，只需从数列本身性质出发即可 ③特别对抽象数列有效

例8：证明{an}收敛， am?an?m?nan?1?11?......?22n2

111??....?..

(n?1)2(n?2)2m2111??.......?

n(n?1)(n?1)(n?2)(m?1)m ?放缩11? nm2 ??0

n ?裂项练习：P42/11

重点思考用什么方法证明极限存在 平均值不等式?单调性?有界性

P43/5 极限定义?an?bn??0?an???bn??0?b1 P43/6 An?有上界

对{an}用Cauchy准则

P43/9 按Cauchy准则叙述{an}发散的充要条件 思考：无限项无穷小之和仍为无穷小？ 无限项无穷小之积仍为无穷小？ 例9：

给定两正数a1与b1(a1>b1),作出其等差中项

a2?a1?b22与等比中项b2?a1b1,一般地，令

an?1?证明：

an?bn,bn?1?anbn,n?1,2,......2 limanlimbnn??与

n??皆存在且相等

例10：

证明若{an}递增，{bn}递减，且lim(an?bn)?0，则liman和limbn都存在且相等n??n??n?? 例11：

{an}满足：存在正数M，对一切n 有An?a2?a1?a3?a2?.......?an?an?1?M

证明：数列{an}与{An}都收敛

例12：按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的充要条件，并用它证明下列数列发散

(1)an?(?1)nn;(2)an?sin

n?11;(3)an?1??......?22n

第三讲 实属完备性（连续性）

考虑：任一实数列若收敛，必收敛于某一实数

任一有理数列若收敛，必收敛于某一有理数 实属完备性的六大定理 1、确界原理 2、单调有界原理 3、区间套原理 4、有限覆盖定理

5、聚点定理（紧性定理） 6、柯西收敛准则 一、区间套原理 （1）区间套的定义 设{[an,bn]}n?1满足：

(1)[an?1,bn?1]?[an,bn]，n?1,2,3.......

(2)lim(bn?an)?0n??

则称{[an,bn]}是闭区间套

注：a1?a2?......?an?......?bn?......?b2?b1 （2）闭区间套定理