1.1 同底数幂的乘法 教案设计

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课时课题：第一章 第1节 同底数幂的乘法 课型：新授课 教学目标：

1．理解同底数幂的乘法运算法则，并能正确运用．

2．通过探索公式法则，训练学生的归纳概括能力，让学生感悟从末知转化成已知的化归思想．

3．培养学生积极思维，主动探究的意识．感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，养成学会分析问题、解决问题的良好习惯．

教学重点与难点：

重点是同底数幂的乘法法则及其探索． 难点是同底数幂的乘法法则的发现与推导．

教法与学法指导：

教法：运用让学生自主探求的方法，帮助学生在学习的过程中理解、掌握新知识，提高

他们的自学能力和解决实际问题的能力．

学法：引导学生主动探索，发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力．

课前准备：多媒体课件． 教学过程：

一、创设情境，导入新课

1．复习有关乘方运算知识

师：上学期我们学习了有理数的乘方，哪们同学能说说什么样的运算叫做乘方？乘方的结果叫做什么？幂的意义是什么，举例说明．

生1：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．a叫底数，n叫指

n

数，a读作：a的n次幂(a的n次方)．（教师板书：

n

3

）

生2：幂的意义：a表示n个相同因数a的积，如：2表示三个2相乘的积． 设计意图：通过此活动，让学生回忆幂与乘法之间关系，即

，从而

为下一步探索得到同底数幂的乘法法则提供了依据，培养学生知识迁移的能力.

2．（出示）“光在真空中的速度大约是3×108m/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107s秒计算，请同学们算一下比邻星与地球的距离约为多少？”

师：谁能告诉大家，这个问题怎样解答？ 生3：（轻松地）3×108×3×107×4.22（师书：3×108×3×107×4.22）

师：很好，算式经过整理后我们可以得到3×108×3×107×4.22＝37.98×108×107，（教

师板书）同学们观察一下后两个乘数有什么特点？（短时间的思考后，大部分同学举手）

生4：都是幂的形式． 生5：底数相同．

师：同学们观察的很仔细，在日常的生活实践和一些数学计算中，我们经常会遇到这样的问题上．谁能快速计算同108×107结果等于多少？

（学生茫然，然后摇摇头，片刻后） 生6：（站起来）108是（稍顿）1亿，107是（稍顿）1后面7个0，然后把这两个数乘起来就是．（自言自语）不过，这样做也太繁琐了．（众笑）

生7：老师，有没有简便的方法？

师：问得好？简便方法是有的．这节课我们就来研究这个问题―――同底数幂的乘法．（师书课题：1.1同底数幂的乘法）

设计意图：以有趣的天文知识为引例，培养学生的学习兴趣，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了同底数幂相乘的形式，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲，为新课的学习做好情感铺垫，引入课题．

二、自主探究，展示交流

1．猜想： 师：（出示）：（1）102×103；（2）105×108（3）10m×10n（m，n都是正整数）． 同学们猜想一下，它们的运算结果各是什么？ 生8：（1）的结果是105，（2）的结果是1013，（3）的结果是10m+n 生9：我认为（1）的结果是106，（2）的结果是1040，（3）的结果是10mn （双方各执己见，同学们也形成两种意见，争执不下）

师：大家先不要争执，这两种答案，到底哪一种正确呢？下面请同学们自己验证一下． 设计意图：在法则的推导过程中，采用了让学生猜想的方式，引起学生的争议，激起了学生进一步探求的欲望．培养学生大胆猜想的数学品质．

2．探究： （1）初探

（学生依据各自的猜想，进行尝试推导，论证自己认为正确的结论，教师巡视．） 生10：我认为第一个同学的答案正确，因为102表示两个10相乘，103表示三个10相乘，那么102×103就表示五个10相乘，所以结果应该是105；同理第二、三小题的结果应该是1013、10m+n．

师：（面向全体同学）有没有不同意见？ 生众：（齐答）没有．

教师利用多媒体展示学生的推理过程：

102×103=（10?10）?（10?10?10）＝105

105×108＝（10?10?10?10?10）?（10?10?10?10?10?10?10?10）＝1013

10m×10n ＝

m

n

＝10

m+n

?1?mn

???和（－3）×(-3)呢？?7?n?1?师：依据上面的做题经验，2×2等于什么？???7?m（m,n都是正整数）

生11：2×2＝2板书）

m

n

m+n

?1?，???7?m?1??1????＝???7??7?nm?nmnm+n

，（－3）×(-3)＝（－3）（教师

师：回答的很好．那么同学们观察上面的这几个算式，能得出什么结论？ （学生稍作沉思后）

生12：两个底数相同的幂相乘，结果的底数没变，只不过把它们的指数相加． 生13：两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． （同学们表示赞同，并认为第二种说法简练）

（师书：两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．） 师：（怀疑的态度）这个结论一定正确吗？ 生众：（齐说）一定正确． 师：很难说．（全体同学一愣，愕然）

师：我们来看这个结论是怎样得出的？（稍顿）以上运算是依据几个个特殊的式子得出

mnmn2358

来的：在10×10、10×10中，幂的底数、指数都是具体的数；在式子10×10、2×2、

?1????7?m?1?mn

???和（－3）×(-3)中，幂的指数换成了字母，但底数仍是具体数．在数学?7?n中，对于这样由特殊例子而得出的结论，是不一定正确的，它不能代表一般的规律．所以结论正确与否，还很难说．那么，对于一般的情况，这个结论是成立还是不成立呢？这需要我们进行严密的论证．下面请同学们分小组研究，这个结论是否适用于所有的同底数幂相乘？并说明理由．

（2）再探

（学生分小组进行研讨探索，气氛热烈，教师巡视．经过充分讨论后，小组开始派代表发言．全体同学都认为结论是正确的，一个学生将论证的方法写到了黑板上）：

生14：（板演）

（板演同学写完后，同时提出问题）

师：你能给大家解释一下每一步的依据吗？（板演同学就论证过程进行了解释：第一步依据幂的意义，第二步依据乘方运算）

生15：那么，am·an= am+n 可不可以作为公式而进行应用？（板演同学看老师，目光求助）

生16：通过验证我们知道：“两个同底数幂相乘，底数不变，指数相加．”是正确的，那么它能不能作为一个法则呢？（板演同学仍看老师，不知所措）

师：能！这就是我们要研究的同底数幂相乘的法则，以后可以直接用它来解决问题．（教师板书法则的字母表示：am·an= am+n）

师：通过刚才猜想验证，我们得出了两个同底数幂相乘的法则．那么法则中的a、m、n可以是任意数吗？哪一个学生能解决这个问题？

生17：（不假思索）可以是任意有理数，因为我们在上学期就学过字母可以表示任意有理数．

生18：我有不同意这种说法，我认为a表示底数，可以是任意数，面m、n表示的是指数，所以只能是正整数．

（同学们同意第二种观点．师书：m、n都是正整数．）

师：这里的m、n规定都是正整数，不过，随着以后学习的深入，m、n的取值范围会逐步扩大．同学们还有什么疑惑吗？

设计意图：探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用独立思考，使学生初步理解“特殊——一般”的认知规律和辨证唯物主义思想，体味科学思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新精神和欲望．学生通过相互之间的合作，归纳出法则，发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力．

3．拓展

师：同学们，法则中说的是两个同底数幂相乘，那么三个或三个以上的同底数幂相乘怎样运算？

生19：（迅速站起来）我认为也是底数不变，指数相加． 师：为什么？ 生19：（不好意思地）我还没考虑好．

师：那么，同学们思考一下，我们推出的两个同底数幂相乘的法则能否适用于三个或三个以上的同底数幂相乘？为什么？

（同学们认真推导，教师巡视，一生推导完要求回答） 生20：（板演）：

生21：我还有一种解法（板书）：am·an·ap=（ am·an ）·ap =am+n·ap=am+n+p （同学们都同意这两个同学的论证方法） 师：同学们推导得非常好，可见同底数幂的乘法法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘．

（师将板书法则中的“两个”擦去）

设计意图：本环节主要是让学生通过自己的问疑、释疑，使法则得到了完善、推广，解决了心中的疑惑．进一步理解法则．

三、应用法则，加深理解

1．解决开始时提出的问题 师：同学们通过自己的感悟与探索得出了同底数幂相乘的法则，那么大家能不能用法则来解决问题呢？先看看我们开始提出的问题，（出示并问）：“这个星球的距离大约是多少？”

生22：（积极的站起来）计算108×107等于1015，所以距离应是37.98×1015米． 师：回答的非常好，但是结果的书写规范吗？

生23：不规范，应符合科学计数法的要求写为：3.798×1016米． 师：非常正确，这里还有几个问题，大家看怎么解答？ 2．（出示）例1计算：

（1）（-3）7×（-3）6； （2）（

11）3 ?； 111111（3）-x3 · x5； （4）b2m· b2m+1.

（先让4名学生上黑板板演，然后让学生纠错，其余学生先独立完成，然后小组互相检

查，核对过程与结果，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题．教师最后强调书写要规范，如：当底数为负数或分数时一定要加括号，并且第（1）小题的结果也可以写为13

－3）

3．例2 光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球大约需要5×102s. 地球距离太阳大约有多远？

（学生认真读题，充分思考分析，独立完成步骤书写，一名学生进行板演，其余学生先