2020版新高考数学二轮复习：第二部分 专题七 第1讲 数学文化 练典型习题 提数学素养 Word版含解析

1

形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]

69?2917397517x399?＝－x＋＋，故当x＝时，体积取得最大值，最大值为－?2?＋×＋＝.故选B.

2222222

2

11．(多选)(2019·济南模拟)如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则( )

A．an＝3n1

－

B．an＝2n－1 C．a4＝27

D．an－an－1＝2·3n2(n≥2)

－

解析：选ACD.黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{an}的通项公式可以是an＝3n1.

－

12．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是( )

A．此人第二天走了九十六里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 1C．此人第三天走的路程占全程的

8D．此人后三天共走了42里路

解析：选ABD.设此人第n天走an里路，前n天共走Sn里路．由题意可知，{an}是首项为11－6?a1??2?1

a1，公比q＝的等比数列，由等比数列前n项和公式得S6＝＝378，解得a1＝192.

21

1－2

1

在A中，a2＝192×＝96，故A正确；

2

在B中，378－192＝186，192－186＝6，故B正确； 1481

在C中，a3＝192×＝48，>，故C错误；

43788

111?在D中，a4＋a5＋a6＝192×??8＋16＋32?＝42，故D正确．

13．(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对

称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，下列命题正确的是( )

A．对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个 B．函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“太极函数” C．正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”

D．函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确；

函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的图象如图1所示，

故其不可能为圆的“太极函数”，故B错误；

将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x图象的对称中心上，则正弦函数y＝sin x是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C正确；函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则y＝f(x)是“太极函数”，但函数y＝f(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D错误．

二、填空题

14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，

若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)

解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球．设41其半径为R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2＝41π.

4

答案：41π

15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定x2

理”及一些应用．直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”．设F1，F2分别是椭圆＋4y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，则点P的横坐标为________．

解析：由题意知半焦距c＝3，又PF1⊥PF2，故点P在圆x2＋y2＝3上，设P(x，y)，联x＋y＝3，??2

?26，3?. 立，得?x得P

3??3＋y2＝1，??4

26

故点P的横坐标为.

326答案： 3

16．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为

mn

0．618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝________． 22cos27°－1解析：由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， 2sin 18°4cos218°2·（2sin 18°cos 18°）2sin 36°mn

＝＝＝＝2.

2cos227°－12cos227°－1cos 54°sin 36°答案：2

17．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．

2

2

解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱

长为x，则

22x＋x＋x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 22

2－1

答案：26