广东省广州市荔湾区实验中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析

nπnπ??12．数列?an?的通项an?n2?cos2． ?sin2?，其前n项和为Sn，则S30为（）

33?? A．470 B．490 C．495 D．510

【答案】A

【解析】本题主要考查数列求和． 首先对?an?进行化简得an?n2cos2nπ2nπ，又由cos关于n的取值表： 33n 1 2 3 4 5 6 L cos2nπ1111 ? ? 1 ? ? 1 L 32222?12?22?42?52?282?292?2nπ2?2??3?????6??L????302??470． 可得cos的周期为3．则可得S30???1223??????

二、填空题

13．在△ABC中，AB?6，?A?75?，?B?45?，则AC?__________． 【答案】2

【解析】本题主要考查正弦定理． 根据正弦定理可知解得AC?2． 故本题正确答案为2．

14．不等式x2?2x?3?0的解集为A，不等式x2?x?6?0的解集为B，不等式x2?ax?b?0的解集是

6ACABAC，即， ??sin60?sin45?sin?Csin?BAIB，那么a?b等于__________．

【答案】?3

【解析】不等式x2?2x?3?0变形得：(x?3)(x?1)?0， 计算得出：?1?x?3，即A?(?1,3)， 不等式x2?x?6?0变形得：(x?2)(x?3)?0， 计算得出：?3?x?2，即B?(?3,2)，

∴AIB?(?1,2)，即不等式x2?ax?b?0的解集为(?1,2)， ∴a??1，b??2， 则a?b??3．

因此，本题正确答案是：?3．

15．已知数列1，【答案】73 【解析】1，

122234131，，，，，，，，，L，

3212143211222347131，，，，，，，，，L，则是数列中的第__________项．

31212432161发现数列第一组?分子+分组?2，

1第二组

12，?分子+分母?3， 21231第三组，，?分子+分母?4，

321L

L

第12组前面共有1?2?3?L?11?7在第66?7?73项． 611?12?66个数， 2

16．已知二次函数y?a(a?1)x2?(2a?1)x?1，a?1，2，L，n，L时，其对应的抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1，d2，L，dn，L，则d1?d2?L?dn?__________． 【答案】

n n?1【解析】解：当a?n时y?n(n?1)x2?(2n?1)x?1， ∴x1?x2?2n?11，x1x2?，

n(n?1)n(n?1)111， ??n(n?1)nn?1∴|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2?11111n∴d1?d2?L?dn?1????L??， ?223nn?1n?1故答案为：

n． n?1三、解答题 17．已知集合A?x|2等于多少？ 【答案】见解析

x2?2x?3?1?????2?3(x?1)，B?x|log1(9?x2)?log1(6?2x)，又AIB?x|x2?ax?b?0，求a?b33【解析】解：由题意2x2?2x?3?1?????2?3(x?1)?23?3x，x2?x?6?0，?3?x?2，

?9?x2?0?，?1?x?3， A?(?3,2)?6?2x?0?2?9?x?6?2xB?(?1,3)，AIB?(?1,2)，

方程x2?ax?b?0的两个根为?1和2，由韦达定理则a??1，b??2， ∴a?b??3．

318．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?2，cosB?．

5（1）若b?4，求sinA的值．

（2）若△ABC的面积S△ABC?4，求b，c的值． 【答案】见解析

3【解析】（1）因为cosB?，且0?B?π，

5所以sinB?1?cos2B?正弦定理：

4． 5abasinB2，截得sinA??． ?b5sinAsinB1（2）S△ABC?acsinB?4，截得c?5，

2余弦定理：b2?a2?c2?2accosB，解得b?17．

19．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过

1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

【答案】见解析

【解析】解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，根据题意知 ?x?y≤10?0.3x?0.1y≤1.8?， ?x≥0???y≥0目标函数z?x?0.5y，

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域．

y(0,18)x+y=10(0,10)M(4,6)(10,0)Ox(6,0)0.3x+0.1 y=1.8x+0.5 y=0

作直线l0:x?0.5y?0，并作平行于直线10的一组直线x?0.5y?z，z?R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x?0.5y?0的距离最大，这里M点是直线x?y?10和0.3x?0.1y?1.8的交点．

?x?y?10由?，

0.3x?0.1y?1.8?可得x?4，y?6， ∵7?0，

∴当x?4，y?6时，z取得最大值．

答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．

20．在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n． （1）设bn?an，证明：数列?bn?是等差数列． 2n?1（2）求数列?an?的前n项和Sn． 【答案】见解析

【解析】（1）证明：由于an?1?2an?2n，等式两边同时除以2n，可得：即：bn?1?bn?1，所以?bn?为等差数列． （2）因为bn?1?bn?1，且b1?a1?1， 20an?1an?n?1?1， 2n2所以等差数列bn?1?(n?1)?1?n， 又因为bn?an， 2n?1