（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明 - 算法 - 复数 12.2 直接证明与

12.2 直接证明与间接证明

1．直接证明 (1)综合法

①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法． ②框图表示：已知条件?…?…?结论 ③思维过程：由因导果． (2)分析法

①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法． ②框图表示：结论?…?…?已知条件 ③思维过程：执果索因． 2．间接证明

反证法：要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．

这个过程包括下面3个步骤：

(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；

(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )

(6)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( √ )

1．(2016·扬州质检)已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为______________________． 答案 cn＋1

*

2

cn＝an－bn＝n2＋1－n＝

1

n2＋1＋n，

则cn随n的增大而减小，∴cn＋1

2．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为____________________________． 答案 a，b至少有一个能被5整除

解析 “都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至少有一个能被5整除”．

3．要证a＋b－1－ab≤0只要证明________(填正确的序号)． ①2ab－1－ab≤0； ②a＋b－1－③

2

2

222

2

22

a4＋b4

2

≤0；

a＋b2

2

2

－1－ab≤0；

2

22

④(a－1)(b－1)≥0. 答案 ④

解析 a＋b－1－ab≤0?(a－1)(b－1)≥0.

4．如果aa＋bb>ab＋ba，则a、b应满足的条件是__________________________． 答案 a≥0，b≥0且a≠b 解析 ∵aa＋bb－(ab＋ba) ＝a(a－b)＋b(b－a) ＝(a－b)(a－b) ＝(a－b)(a＋b)．

2

2

2

22

2

2

∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)(a＋b)>0. ∴aa＋bb>ab＋ba成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.

5．(2016·盐城模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，

2

fx1＋fx2＋…＋fxnx1＋x2＋…＋xnxn，有 ≤f()，已知函数y＝sin x在区间(0，

nnπ)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________． 答案

33

2

解析 ∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数， 且A，B，C∈(0，π)． ∴

fA＋fB＋fC3

≤f(

A＋B＋C3π

)＝f()，

3

π33

即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，

3233

∴sin A＋sin B＋sin C的最大值为.

2

题型一 综合法的应用 例1 数列{an}满足an＋1＝

an，a1＝1. 2an＋1

1

(1)证明：数列{}是等差数列；

an1111n(2)求数列{}的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>. anS1S2Snn＋1(1)证明 ∵an＋1＝，

2an＋1∴即

11

anan＋1

2an＋111＝，化简得＝2＋，

anan＋1ananan＋1an11

－＝2，故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．

1

(2)解 由(1)知＝2n－1，

an∴Sn＝

n＋2n－2

＝n.

1n＋

111

＝(1－)＋(－)＋…

223

2

11111111

方法一＋＋…＋＝2＋2＋…＋2>＋＋…＋S1S2Sn12n1×22×3n111n＋(－)＝1－＝. nn＋1n＋1n＋1

111111

方法二＋＋…＋＝2＋2＋…＋2>1，

S1S2Sn12n又∵1>

nn＋1

，

111n∴＋＋…＋>. S1S2Snn＋1

思维升华 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．

若a，b，c是不全相等的正数，求证：

lg

a＋b2

＋lg

b＋c2

＋lg

c＋a2

>lg a＋lg b＋lg c.

证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)， ∴

a＋b2

≥ab >0，

b＋c2

≥bc >0，

a＋c2

≥ac >0.

由于a，b，c是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴

a＋bb＋cc＋a2·2·2

>abc>0成立．

上式两边同时取常用对数，得 lg(

a＋bb＋cc＋a22·2·2

)>lg abc，

∴lga＋b＋lgb＋c2

＋lgc＋a2

>lg a＋lg b＋lg c.

题型二 分析法的应用

1?π??π?例2 已知函数f(x)＝tan x，x∈?0，?，若x1，x2∈?0，?，且x1≠x2，求证：[f(x1)

2?2?2??＋f(x2)]>f?

?x1＋x2?.

??2?

1?x1＋x2?，

证明 要证[f(x1)＋f(x2)]>f??2?2?1x1＋x2即证明(tan x1＋tan x2)>tan ，

221?sin x1sin x2?x1＋x2

＋只需证明?>tan ， ?2?cos x1cos x2?2

x1＋x2

只需证明>

2cos x1cos x21＋x1＋x2

. x1＋x2

?π?由于x1，x2∈?0，?，故x1＋x2∈(0，π)．

2??