西工大计算方法试题06-10（含答案）

一、考试内容

线性方程组和非线性方程（组）的求解、矩阵特征值和特征向量的计算、微积分的计算、微分方程定解问题的求解等，都是工程、科技、统计等实际问题中大量碰到的数学问题，这些问题的精确解很难求出。 而《计算方法》则是一门适合于计算机计算求解的数值方法，它简单可行，能有效求出上述数学问题的近似解。 通过本课程的学习，要求学生能掌握利用计算机求解基本数学问题常用的数值计算方法，学会构造基本的计算格式，并能作一定的误差分析 ，使学生具备基本的科学计算能力。主要有： 1. 了解计算方法的认务和特点；

2. 熟练掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛顿迭代法和弦割法 3. 熟练掌握线性代数方程组的解法，直接解法中的高斯消去法、矩阵的直接三角分解法，平方根分解法，解三对角方程组的追赶法；解线性方程组的迭代法，简单迭代法，雅可比迭代法，赛德尔迭代法，SOR方法及其收敛性

4. 熟练掌握矩特征值和特征向量的计算，乘幂法与反幂法，古典雅可比方法，雅可比过关法

5. 熟练掌握插值法，拉格朗日插值法，牛顿插值法，等距节点插值法，埃尔米特插值法，三次样条插值法

6. 熟练掌握最小二乘法与曲线拟合，掌握矛盾方程组与最小二乘法，数据的多项式拟合，可化为线性拟合模型的曲线拟合

7. 熟练掌握数值积分与数值微分，包括牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格求积算法、高斯型求积公式和数值微分；

8. 熟练掌握常微分方程初值问题数值解法，包括欧拉法与梯形法、 泰勒展开法与龙格-库塔法、线性多步法

2006-2007第一学期

一. 填空

*1） 近似数x?1.253关于真值x?1.249有____位有效数字；

2） 设有插值公式

?1?1f(x)dx??Akf(xk)k?1n，则

?Ak?1nk=______；（只算系数）

*x1er(*)?**x23） 设近似数x1?0.0235，x2?2.5160都是有效数，则相对误差____； 4） 求方程x?cosx的根的牛顿迭代格式为______；

?x1?x2?1?2x1?2x2?2??x?x?1?1?x1?x2?12?x?2x??1?x?2x??1225） 矛盾方程组?1与?1得最小二乘解是否相同______。 x二. 用迭代法（方法不限）求方程xe?1在区间（0，1）内根的近似值，要求

先论证收敛性，误差小于10时迭代结束。

2xy?ax?be三. 用最小二乘法中的常数a和b，使该函数曲线拟合与下面四个

?2点

（1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位）

四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组

?1??0?1??0?020??x1??5??????101??x2??3???????243x317?????????103???x4??7?

五．设要给出f?x??cosx的如下函数表

xi f(xi)

x0?h f(x0?h) x0 f(x0) x0?h f(x0?h)

?3用二次插值多项式求f(x)得近似值，问步长不超过多少时，误差小于10 。

六. 设有微分方程初值问题

?y??－2y?4x,0?x?0.2??y(0)?2

1）写出欧拉预估－校正法的计算格式；

2)取步长h=0.1，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。 七. 设有积分

I??dx01?x

1 取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小

数点侯保留4位）；

用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）。 八. 对方程组

?12－2??x1??4????????111??x2???1??221??x??3????3???

1. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？

T(k?1)x?(0,0,0) 2.取初始向量，用雅可比迭代法求近似解x，使

九. 设f(x)在区间[a，b]上有二阶连续导数，且f(a)=f(b)=0，试证明

xi(k?1)?xi(k)?10?3(i?1,2,3)maxa?x?b1f(x)?(b?a)2maxf??(x)8a?x?b

参考答案：

1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023

xk?1?xk?（4）

xk?cosxkxksinxk?cosxk?,k?0,1,2,...1?sinxk1?sinxk (5) 否

?xk?xx?ex?ek?12. 方程的等价形式为 ，迭代格式为。

收敛性证明；当x?(0,1)时，

0?1?e?x?e0?1e

所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛 取迭代初值为x0?0.5，迭代结果如下

?'(x)?e?x?e0?1n 0 1 2 3 4 5 6 3.

xn 0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 0.56486 xn?xn?1 0.01065 -0.06129 0.03446 -0.01964 0.01111 -0.00631 1.5 2.25 4.48169 2.0 4.0 7.38906 2.5 6.25 12.18249 xn 2xn 1 1 2.71828 exn 2.71828??1??0.72??2.254.48169?a?0.02???????????4.07.38906??b??0.61?????6.2512.182490.32??? 矛盾方程组为 ?对应的正则方程组为

?61.125118.4989??a??3.765??118.4989230.4859??b???6.538196???????

,b??1.0009 解得 a?2.00192ex 所以拟和曲线方程为y?2.0019x?1.00094. 由矩阵Doolittle分解的紧凑记录形式有

?1??0?1??0 ?回代求解得 x4??10205???1013??0?124317?????01037?? ?0205??1013?2216??1024??

41?2x3?(6?1?x4)?222 ,

x2?3?0x3?1x45?0x2?2x3?0x4?1x1??111 ，

Tx?(1,1,2,2)方程组的解向量为.