《精品》人教版红对勾2020届高考一轮数学（理）复习课时作业55

课时作业55 抛物线

1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( B )

7πA.12 3πC.4

2πB．3 5πD．6

解析：由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,23)，23－0

因此点A的坐标为(－1,23)，所以kAF＝＝－3，所以直线AF

－1－12π

的倾斜角等于3，故选B.

2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( D )

A．y2＝4x C．y2＝8x

B．y2＝－4x D．y2＝－8x

解析：因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|

?p?1

＝2p，所以S△CAB＝2×2p×?2＋4?＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以

??

抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.

3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为45，则抛物线C的方程为( C )

A．x2＝8y

B．x2＝4y

1

C．x2＝2y

D．x2＝y

2????x＝2py，?x＝0，?x＝4p，

解析：由?得?或?

?y＝2x，????y＝0?y＝8p，

即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，

则?4p?2＋?8p?2＝45，得p＝1(舍去负值)， 故抛物线C的方程为x2＝2y.

4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点→→3

为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝2(O为坐标原点)，则OM·MF＝( A )

7

A．－4 9C.4

7B．4 9D．－4 解析：不妨设M(m，2pm)(m＞0)，

?p??易知抛物线C的焦点F的坐标为2，0?， ??

3

因为|MO|＝|MF|＝2， 92??m＋2pm＝4，

所以?p3

?m＋?2＝2，

1

解得m＝2，p＝2，

→?1?→?1?所以OM＝?2，2?，MF＝?2，－2?，

?

?

?

?

→→17所以OM·MF＝4－2＝－4.故选A.

5．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( A )

2

|BF|－1A. |AF|－1|BF|＋1C. |AF|＋1

则|AM|＝|AF|－1，|BN|＝|BF|－1.

|BF|2－1B．

|AF|2－1|BF|2＋1D．

|AF|2＋1

解析：过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N， 1·|CB|·|CF|·sin∠BCF

S△BCF2|CB||BN||BF|－1可知＝＝|CA|＝|AM|＝，故选A.

S△ACF1|AF|－1

|CA|·|CF|·sin∠BCF2·6．(2019·江西六校联考)已知抛物线C：y2＝23x，过焦点F且斜率为3的直线与C交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN＝( B )

A．8 C．43

|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，

B．23 D．83

解析：法一：不妨设点P在x轴上方，如图，由抛物线定义可知

3

设直线PQ的倾斜角为θ，则tanθ＝3，所以θ＝π

3， 由抛物线焦点弦的性质可知， |PF|＝p1－cosθ

＝3

π＝23， 1－cos3|QF|＝p

＝

3

231＋cosθ

＋cosπ＝3， 13

所以|MN|＝|PQ|·sinθ＝(|PF|＋|QF|)·sinπ833

3＝3×2＝4， 所以S11

△MFN＝2×|MN|×p＝2×4×3＝23，故选B. 法二：由题意可得直线PQ：

y＝3??3?

x－3?2??＝3x－2，与抛物线方程y2＝23x联立，得

???

3x－3?9

2?2?＝23x，即3x2－53x＋4＝0，

设P(x，y5311)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝3， 所以|PQ|＝x5383

1＋x2＋p＝3＋3＝3， 所以|MN|＝|PQ|sinπ

3＝4，

4