量子力学期中考试试题

量子力学期中考试试题

物理常数：光速：c?2.998?10m?s；普朗克常数：h?6.626?108?1?34J?s；玻尔兹曼常数：

电子质量：碳原子质量：kB?1.381?10?23J/K；me?9.109?10?31kg；mC?12u?2.007?10?26kg；电子电荷：e?1.602?10?19C

一、填空题：

1、 量子力学的基本特征是 。 2、 波函数的性质是 。

3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。

4.一粒子用波函数?描写,则在某个区域dV内找到粒子的几率为 。 (rt,)5、线性谐振子的零点能为 。 6、厄密算符的本征值必为 。 7、氢原子能级n?的简并度为 。 58、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。 9、测不准关系反映了微观粒子的 。

10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。

11. 通常把 称为束缚态。

12. 波函数满足的三个基本条件是： 。 13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。 15. 坐标与动量的不确定关系是： 。 16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。 17. 何谓定态： 。 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。

3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ??r,?,?? ，写出粒子在立体角d?中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ??r,?,?? ，写出粒子在球壳?r,r?dr?中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为??r????x,y,z?，写出粒子位于x~x?dx间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱

???0,0?x?a,0?y?b,0?z?cV(x,y,z)????,其余区域

中粒子的能级和波函数。

?0,V(x)????,8. 一质量为?的粒子在一维无限深方势阱

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

0?x?2ax?0,x?2a

??9. 何谓几率流密度？写出几率流密度j（r,t）的表达式。

10. 写出在z表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12.

?（L2,Lz） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？

13. 写出电子自旋

sz?y,p????L,L???14. 给出如下对易关系：

y2x的二本征态和本征值。

?z,p????L,L????s,s?????,????xyzxyzy

??(r,?/2)?????(r,sz)?????(r?,??/2)??， 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为

2?2?3dr?(r,??/2)?(r,?/2)?准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。

18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H有什么样的要求？

22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态?(x)可用一组力学量完全集的共同本征态?n(x)展开：

?(x)??cn?n(x)n，

写出展开式系数

cn的表达式。

p?H??V(x)?m24. 一维运动中，哈密顿量 ，求?x,H???25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？

?p,H???

?x之间的测不准关系。 27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量p28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？

29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

二、计算题：

1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10及T?100K的热运动能量相比较。

2. .证明在定态中，几率流与时间无关。

?23求动能的量子化间隔?E，并与T?4KJ?T?1，

??，x?0?3. 一粒子在一维势场 U(x)??0， 0?x?a中运动， ??，x?a?

（1）求粒子的能级和对应的波函数。

（2）若已知t?0时，该粒子状态为：??x,0??1??1(x)??2(x)?，求t时刻该粒子的波函数； 2（3）求t时刻测量到粒子的能量分别为E1和E2的几率是多少？ （4）求t时刻粒子的平均能量E和平均位置x。

L24.一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对应的量子体系

2I在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 5. 设t=0时，粒子的状态为

2 ?(x)?A[sin kx?12coskx]求此时粒子的平均动量和平均动能。

6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)

描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

7. 设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?13R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且A（一）.已知厄密算符A,B，满足A?、B?的矩阵表示； 1、在A表象中算符A?的本征值和本征函数； 2、在B表象中算符A3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

（二）. 设氢原子在t?0时处于状态

?(r,0)?

111R21(r)Y10(?,?)?R31(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?)222，求

??2和Lz的取值几率和平均值； 1、t?0时氢原子的E、L??2和Lz的取值几率和平均值。 2、t?0时体系的波函数，并给出此时体系的E、L（六）、当?为一小量时，利用微扰论求矩阵

一次项。

?1??2??0???2??3??3?3?2???的本征值至2?0?的二次项，本征矢至?的

???nS（十）、在z表象中，求自旋算符S在?{cos?,cos?,cos?}方向投影算符

??????S?cos??S?cos?S?n?Sxcos??Snyz的本征值和相应的本征态。

（十四）、

有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

（十五）、

试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能

V(x)?1m?2x22]

?x的本征态 ?z表象中，求?（十八）、在?