初中数学函数（一次函数、反比例函数、二次函数专题）复习

初中数学函数三大专题复习

目录

专题一 一次函数和反比例函数 ......................................................................................................................... 1

一、一次函数及其基本性质 ........................................................................................................................... 1

1、正比例函数 ......................................................................................................................................... 1 2、一次函数 ............................................................................................................................................. 1 3、待定系数法求解函数的解析式 ......................................................................................................... 1 4、一次函数与方程、不等式结合 ......................................................................................................... 2 5、一次函数的基本应用问题 ................................................................................................................. 3 二、反比例函数及其基本性质 ....................................................................................................................... 6

1、反比例函数的基本形式 ..................................................................................................................... 6 2、反比例函数中比例系数k的几何意义 .............................................................................................. 6 3、反比例函数的图像问题 ..................................................................................................................... 7 4、反比例函数的基本应用 ..................................................................................................................... 9

专题二 二次函数 ................................................................................................................................................11

一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用 ...................................................................... 11

1、二次函数的解析式及其求解 ............................................................................................................11 2、二次函数的基本图像 ....................................................................................................................... 12 3、二次函数的增减性及其最值 ........................................................................................................... 13 4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系 .................................................................................... 14 5、二次函数和不等式、方程的结合.................................................................................................... 15 二、二次函数的基本应用 ............................................................................................................................. 17

1、二次函数求解最值问题 ................................................................................................................... 17 2、二次函数中的面积问题 ................................................................................................................... 18 3、涵洞桥梁隧道问题 ........................................................................................................................... 21 4、二次函数和圆相结合 ....................................................................................................................... 22 三、二次函数中的运动性问题 ..................................................................................................................... 23

1、动点问题 ........................................................................................................................................... 23 2、折叠、旋转、平移问题 ................................................................................................................... 28

专题三 锐角三角函数以及解直角三角形 ....................................................................................................... 31

1、锐角三角函数的基本定义及其计算................................................................................................ 31 2、锐角三角函数的基本应用 ............................................................................................................... 32

专题一 一次函数和反比例函数

一、一次函数及其基本性质

1、正比例函数

形如y?kx?k?0?的函数称为正比例函数，其中k称为函数的比例系数。

（1）当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大； （2）当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

2、一次函数

形如y?kx?b的函数称为一次函数，其中k称为函数的比例系数，b称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y随x的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y随x的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y随x的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y随x的增大而减小。 例题1：在一次函数y＝(m－3)xm-1＋x＋3中，符合x≠0，则m的值为 。

随堂练习：已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是（ ） A、﹣2 随堂练习：

1、直线y=x－1的图像经过象限是（ ）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限 2、一次函数y=6x＋1的图象不经过（ ） ．．．A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

B、﹣1 C、0

D、2

例题3：已知一次函数y?mx?n?2的图像如图所示，则m、n的取值范围是（ ） A、m＞0，n＜2 B、m＞0，n＞2 C、m＜0，n＜2 D、m＜0，n＞2 随堂练习：已知关于x的一次函数y?mx?n的图象如图所示，则|n?m|?m2可化简为 。

例题4：已知一次函数y=kx+b的图像经过二四象限，如果函数上有点?x1,y1?,?x2,y2?，如果满足y1?y2，那么x1 x2。

3、待定系数法求解函数的解析式

（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一

1

次方程。

（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程组，解方程，最终求出参数k、b。

例题5：已知：一次函数y?kx?b的图象经过M(0，2)，(1，3)两点。 （1）求k、b的值；

（2）若一次函数y?kx?b的图象与x轴的交点为A（a，0），求a的值。

随堂练习：

1、直线y?kx?1一定经过点（ ）。

A、(1，0) B、(1，k) C、(0，k) D、(0，－1) 2、若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是（ ） A、2 B、-2 C、1 D、-1 3、一次函数y??2x?4的图象与y轴的交点坐标是（ ） A、（0，4） B、（4，0） C、（2，0） D、（0，2）

4、已知一次函数y?kx?b?k?0?图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。

4、一次函数与方程、不等式结合

（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察

（2）一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。

例题1：已知一次函数y?ax?b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a(x?1)?b?0的解集为（ ）

A、x<－1 B、x> -1 C、x>1 D、x<1 随堂练习：

2

1、若直线y??2x?4与直线y?4x?b的交点在第三象限，则b的取值范围是（ ） A、?4?b?8 B、?4?b?0 C、b??4或b?8 D、?4?b?8 2、结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是( ) A、y=1 B、1≤y<4 C、y=4 D、y>4

例题2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数y??x?3与y?3x?5图象交于点M，则点M的坐标（ ） A、（-1，4）

B、（-1，2） C、（2，-1） D、（2，1）

L2 y l1 P 3 x 随堂练习：如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组??y?k1x?b1,的解是（ ）

y?kx?b22?A、??x?2,?x??2,?x?3,?x??2 B、? C、? D、?

?y?3?y??3?y?3?y??2

-2 O 1例题3：如图，直线y=kx+b经过A（3,1）和B（6,0）两点，则不等式0＜kx+b＜x3的解集为________。

随堂练习：如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是 。

5、一次函数的基本应用问题

例题1：如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B一D→ C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x，AP长为y,则y关于x的函数图象大致是( )

随堂练习：如图3，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5,4），AD=2.若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA?AD?DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运

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