2018版高中数学人教版A版必修五学案：§3.2 一元二次不等式及其解法（二）

[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．

知识点一 分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式

类型 法Ⅰ： ??f（x）＞0（＜0）??f（x）＜0（＞0）?或? ?g（x）＞0?g（x）＜0??同解不等式 f（x）＞0(＜0) g（x）法Ⅱ： f(x)·g(x)＞0(＜0) 法Ⅰ： ??f（x）≥0（≤0）??f（x）≤0（≥0）?或? ??g（x）＞0g（x）＜0??f（x）≥0(≤0) g（x）法Ⅱ： ?g（x）≥0（≤0）?f（x）·? ??g（x）≠0f（x）＞a≥a g（x）≤a??????＜a先移项转化为上述两种形式 知识点二 简单的一元高次不等式的解法

一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：

(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；

(2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积；

(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；

(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集． 思考 (x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为______________． 答案 {x|1＜x＜2或x＞4} 解析 利用数轴穿根法

知识点三 一元二次不等式恒成立问题

对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：

??a＞0，(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立??

?Δ＜0Ｗ.?

2

??a＜0，ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立??

?Δ＜0Ｗ.?

2

(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立?k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min．

题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式： x＋4x＋1

(1)＜0；(2)≤2. 3－xx－2x＋4x＋4解 (1)由＜0，得＞0，

3－xx－3此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0， ∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}． x＋1

(2)方法一 移项得－2≤0，

x－2

－x＋5x－5

左边通分并化简有≤0，即≥0，

x－2x－2

??（x－2）（x－5）≥0，

同解不等式为?

?x－2≠0，?

∴x＜2或x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}． x－5

方法二 原不等式可化为≥0，

x－2

??x－5≥0，

此不等式等价于?①

?x－2＞0??x－5≤0，?

或?② ?x－2＜0，?

解①得x≥5，解②得x＜2，

∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．

f（x）f（x）反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或≥g（x）g（x）0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可，注意不等号的方向变化．

x2－2x－2

跟踪训练1 不等式2<2的解集为( )

x＋x＋1A．{x|x≠－2}B．R C．?D．{x|x<－2或x>2} 答案 A

13

x＋?＋＞0，∴原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x解析 ∵x＋x＋1＝??2?4

2

2

＋2)2>0，

∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}． 题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； (2)1＋x－x3－x4＞0；

(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.

解 (1)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0，

由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解． ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}． (2)原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＜0， 而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0， ∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)＜0， ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．

(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0， 341

x－??x－??x－?(x－2)＞0， 进一步化为??2??3??2?如图所示，得原不等式的解集为 143??

?x|x＜或＜x＜或x＞2?.

232??

反思与感悟 解高次不等式时，主导思想是降次，即因式分解后，能确定符号的因式应先考虑约分，然后可以转化为一元二次不等式，当然也可考虑数轴穿根法．

x2＋px＋q跟踪训练2 若不等式x＋px＋q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式2＞0的解集是

x－5x－6

2

( ) A．(1，2)

B．(－∞，－1)∪(6，＋∞) C．(－1，1)∪(2，6)

D．(－∞，－1)∪(1，2)∪(6，＋∞) 答案 D

解析 由题意知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)＞0?(x－1)(x－2)(x－6)(x＋1)＞0?x＜－1或1＜x＜2或x＞6. 题型三 不等式恒成立问题

例3 对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________． 答案 (－2，2)

解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，

只需Δ＜0即可， 即(a－4)2－4(5－2a)＜0， 解得－2＜a＜2.

反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种： (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；

(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．

跟踪训练3 对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )

A．1＜x＜3B．x＜1或x＞3 C．1＜x＜2D．x＜1或x＞2 答案 B

解析 f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0， 即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0， 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)

?g（1）＞0，?

由题意知，?即

?g（－1）＞0，?

22

??x－2＋x－4x＋4＝x－3x＋2＞0，? 22

?－x＋2＋x＋4－4x＝x－5x＋6＞0，?

∴x＜1或x＞3.

题型四 一元二次不等式在生活中的应用

例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x

的函数关系式；

(2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解 (1)降低后的征税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万吨，收购总金额为200a(1＋2x%)．

依题意得，y＝200a(1＋2x%)(10－x)%