人教版高一数学第一章函数的单调性复习题

函数的单调性

一、单调性定义

1. 如果对于区间I内的任意两个值 ，若 都有 ，那么就说 在区间I上是单调增函数，其中I称为 的单调增区间。

2.如果对于区间I 内的任意两个值 ，若 都有 ，那么就说 在区间I上是单调减函数，其中I称为 的单调减区间。

例1： ， 时， 在区间 为 函数。 （2） 时 ， 在区间 为 函数， 在区间 为 函数。

（3） 时 ， 在区间 为 函数。

注意： f(x)在区间D1 、D2上是增函数，但不一定在区间D1∪D2上是增函数；同样在区间D1 、D2上是减函数，但在区间D1∪D2上不一定是减函数.例如：在区间 上为减函数，在 上也是减函数，但在 上就不能说成是减函数. 二、判断函数单调性的一般步骤 ： ① ② ③ ④ ⑤

任取x1，x2∈D，且x1

变形（通常是因式分解、通分、配方、有理化等手段将和差的形式变成积商的形式）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

例2：证明函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。

例3：证明 在定义域上是增函数。

例4：证明函数f(x)=x3的单调性。

例5：讨论函数y＝1－x2在[－1,1]上的单调性．

1

函数的单调性

例6：讨论：函数f(x)＝ 的单调性． 注意：

（1）函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明． （2）求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域。 （3）特别注意函数单调性定义的变形形式的应用： 若 若

，则f(x)在其定义域上为 函数；

，则f(x)在其定义域上为 函数。

三、复合函数单调性

1.复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”，即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数.

（2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域；

②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其单调性； ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性. 例7：求函数 的单调区间。

习题：求函数 的单调区间。

例8：设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断函数y＝[f(x)]2.的单调性

2

函数的单调性

四、分段函数的单调性

2

??(x－1) x≥0

例9：若f(x)＝?，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．

?x＋1 x＜0?

五、函数的最值

函数的最大值：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I。如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.

函数的最小值：一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I。如果存在实数M，满足：(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.那么，称M是函数y＝f (x)的最小值. 例10：对于任意x＞0，不等式x2+2x-a＞0恒成立，求实数a的取值范围。

六．与单调性有关题型

例11：若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，则实数m的值为

习题：若函数 ,在 上是增函数，则实数m的范围为 ;

例12：若定义在R上的单调减函数f(x)满足 ，求a 的取值范围。

习题：若定义在 上的单调减函数f(x)满足 ，求a 的取值范围。

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