2020中考数学模拟试卷(解析版)

专题：综合题．

分析：（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由∠B=45°，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；

（2）根据∠APC=∠APD+∠CPD，以及∠APC为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP=∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB?PC的值；

（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值． 解答：解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于点E， 在Rt△ABE中，∠B=45°，AB=x， ∴AE=AB?sinB=

x，

∵S△APD=AD?AE=， ∴?y?则y=

x=， ；

（2）∵∠APC=∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP，∠APD=∠B=45°， ∴∠BAP=∠CPD，

∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴∠B=∠C，AB=CD， ∴△ABP∽△PCD， ∴=，

∴PB?PC=AB?DC=AB2， 当y=1时，x=则PB?PC=（

，即AB=）2=2；

，

（3）如图2，取AD的中点F，连接PF， 过P作PH⊥AD，可得PF≥PH， 当PF=PH时，PF有最小值， ∵∠APD=90°， ∴PF=AD=y， ∴PH=y，

∵S△APD=?AD?PH=， ∴?y?y=，即y2=2， ∵y＞0，∴y=

， ．

则y的最小值为

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

22．（2020最新适应性考试）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）

（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a= ；

当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a与m之间的关系式是 （2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长． 考点：二次函数综合题．

分析：（1）利用顶点坐标公式（﹣，

）填空；

，则易求该抛

（2）首先，利用配方法得到抛物线的解析式y=a（x+）2﹣物线的顶点坐标（﹣，﹣

）；

然后，把该顶点坐标代入直线方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代数式表示b；

（3）根据题意可设可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=﹣x2+2x．所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是（2n，n），则把点Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范围来求点An的坐标，即该正方形的边长． 解答：解：（1）∵顶点坐标为（1，1），

∴解得，

，

，

即当顶点坐标为（1，1）时，a=1； 当顶点坐标为（m，m），m≠0时，解得，

，

则a与m之间的关系式是：a=﹣或am+1=0． 故答案是：﹣1；a=﹣或am+1=0． （2）∵a≠0，

∴y=ax2+bx=a（x+）2﹣∴顶点坐标是（﹣，﹣

，

）．

又∵该顶点在直线y=kx（k≠0）上， ∴k（﹣）=﹣∵b≠0， ∴b=2k；

（3）∵顶点A1，A2，…，An在直线y=x上，

∴可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）． 由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=﹣x2+2x． ∵四边形AnBnCnDn是正方形， ∴点Dn的坐标是（2n，n）， ∴﹣（2n）2+22n=n，

．