2021年高考数学(理)一轮复习讲义 第6章 第1讲 高效演练分层突破

[基础题组练]

1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A．第19项 B．第20项 C．第21项

D．第22项

解析：选C.数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，

5＋4×6，…，

5＋6（n－1）＝6n－1，

所以通项公式为an＝令

6n－1＝55，得n＝21.

1

2．已知数列{an}满足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝( )

2111

A. B． C. 32164

1

D．

2

1

解析：选A.因为数列{an}满足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝

2111

a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.故选A.

4832

113．在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 020的值为( )

4an－11

A．－

44C. 5

B．5 5D．

4

111

解析：选A.在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－＝5，

41an－1

－41411

a3＝1－＝，a4＝1－＝－，

5544

5

1

所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 020＝a673×3＋1＝a1＝－.

4

4．(2020·山西太原模拟(一))已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝2n(n∈N*)，则a7

＝( )

7A. 3321C. 32

127B．

64385D． 64

解析：选B.当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2n－2，又Sn＋an＝2n，所以2an－an－1＝2，所以1

2(an－2)＝an－1－2，故{an－2}是首项为a1－2，公比为的等比数列，

2

1?又S1＋a1＝2，故a1＝1，所以an＝－??2?n－1

1127

＋2，故a7＝2－＝，故选B.

6464

5．(2020·广东广州天河毕业班综合测试(一))数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有111

an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝( )

a1a2a99

99

A. 9899C. 50

B．2 99D． 100

解析：选C.由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，

n（n＋1）

则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，

21222则＝＝－， ann（n＋1）nn＋1111则＋＋…＋＝ a1a2a99

?1－1?＋?1－1?＋…＋?1－1??＝2×?1－1?＝99.故选C. 2×???2??23??99100???100?50

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1. 当n＝1

时，2×31－1＝2≠a

??4，n＝1，

1，所以an＝?n－1

?2·3，n≥2.?

??4，n＝1，

答案：? －

?2·3n1，n≥2?

7．记数列{an}的前n项和为Sn，若?n∈N*，2Sn＝an＋1，则a2 018＝________． 解析：因为2Sn＝an＋1， 所以2Sn－1＝an－1＋1(n≥2)，

所以2Sn－2Sn－1＝2an＝an－an－1(n≥2)，

即an＝－an－1(n≥2)，所以数列{an}是以2为周期的周期数列．

又2S1＝2a1＝a1＋1，

所以a1＝1，所以a2 018＝a2＝－a1＝－1. 答案：－1

8．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前nSn－2

项和为Sn，若n＋1＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝________．

2

Sn－2

解析：因为n1＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，

2＋

两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n.

答案：n

n＋2

9．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝a.

3n(1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式．

4

解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，

3解得a2＝3a1＝3.

5

由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，

33

解得a3＝(a1＋a2)＝6.

2(2)由题设知a1＝1.

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋1

整理得an＝an－1.

n－1于是 a1＝1， 3

a2＝a1，

14

a3＝a2，

2

n＋2n＋1

an－a， 33n－1

…

n＋1n

an－1＝an－2，an＝an－1.

n－2n－1

n（n＋1）将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.

2显然，当n＝1时也满足上式．

n（n＋1）

综上可知，{an}的通项公式an＝.

2

10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 解：(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝4×3

n－1

＋(a－3)2n－2＝2n－2

n－2

??3?n－2?

?12?2?＋a－3?， ??

3?

当n≥2时，an＋1≥an?12??2?

＋a－3≥0?a≥－9.

又a2＝a1＋3＞a1.综上，a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．

[综合题组练]

1．(2020·安徽江淮十校第三次联考)已知数列{an}满足值为( )

A．45

B．45－1 C．8 D．9

an＋1－anan

＝2，a1＝20，则的最小nn

解析：选C.由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2， …，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，

以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2， 当n＝1时，a1＝20符合上式，