2012-2013-北邮概率论研究生试题答案定稿

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北京邮电大学2012——2013学年第1学期

《概率论与随机过程试题》期末考试试题答案

考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的

班号和选课单上的学号，班内序号!

一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）

1.设A是定义在非空集合?上的集代数,则下面正确的是 .A （A）若A?A,B?A,则A?B?A; （B）若A?A,B?A,则B?A; （C）若An?A,n?1,2,?,则UAn?A;

n?1? （D）若An?A,n?1,2,?,且A1?A2?A3?L,则IAn?A.

n?1?2. 设??,F?为一可测空间，P为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c

（A）若A?F,B?F,则P(A?B)?P(A)?P(B)；

（B）若An?F,n?1,2,?,,且A1?A2?A3?L，则P(IAn)?limP(An)；

n?1n???（C）若A?F,B?F,C?F,，则P(AUBUC)?P(A)?P(AB)?P(ABC)； （D）若An?F,n?1,2,?,,且AiAj??,?i??j，P(UAn)??P(An).

n?1n?1??3.设f为从概率空间??,F,P?到Borel可测空间?R,B?上的实可测函数，表达式为f(?)??kIAk，其中AiAj??,?i??j,UAn??，则??fdP? ；

k?0100100n?0*文档*

若已知P(Ak)?100100!12?fdP? . ，则?100k!(100?k)!22?kP(A),25?50kk?0?2525

4. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度

?2,0?x?1,0?y?x, f(x,y)??其他，?0,则E[E[X|Y]]= .2/3

5. 设随机过程{X(t)?Xcos?t,???t???}，其中随机变量X服从参数为

1的指数分布，??(0,?/2)为常数，则（1）X(1)的概率密度f(x;1)? ；

?（2）E(?2X(t)dt)? .

0x?1?cos?1e?,x?0,?E(?2X(t)dt)? f(x;1)??cos?0??0,其他，?16. 设{W(t),t?0}是参数为?2(??0)的维纳过程，令X(t)?W()，则相关

t函数RX(1,2)??22 .

7. 设齐次马氏链的状态空间为E?{1,2,3},一步转移概率为

?0.50.50???P??0.50.50?

?0.20.30.5???则（1）limpn??(n)11(n)? . 1/2,2 ? ；（2）?p33n?0?二. 概率题（共30分）

1.(10分) 设(X,Y)的概率密度为

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f(x,y)?12??e2?22x1?x22?2,

令U?X2?Y2,V?Y, （1）求(U,V)的概率密度g(u,v)；（2）求U的边缘概率密度gU(u).

?u?x2?y2,??x??u2?v2,解解.（1） 解方程?得?|v|?u,

y?v,??v?y,?所以雅可比行列式J??u2u2?v20mu, 2u2?v2??222u?v1v故

u??1u2?2e,|v|?u,?22g(u,v)?f(x,y)|J|??2??2 u?v?0,其他.? ……5分

（2）对u?0，

gU(u)??g(u,v)dv?????u?u12??1e2?u2?2uu?v22dv

u ?u2??e2?u2?2?u?uu?v

22dv?u2?e2?2?2,

u?u?2?2,u?0,?2e故gU(u)??2?

?0,其他.? ……10分

2.（10分）设(U,V)的概率密度

?e?u,u?v?0,v?0,g(u,v)??

其他，?0,?1,??{V?1}，（1）求E(I{V?1}|U?10)，其中I{V?1}(?)??（2）D(V|U).

0,其他，?*文档*

解 U的边缘概率密度为

u?u?u???0edv,u?0,?ue,u?0, gU(u)??g(u,v)dv????0其他,?其他,?0,?0,所以条件概率密度

u?1g(u,v)?,0?v?u, gV|U(v|u)???ugU(u)?其他.?0,（1）

101 ……4分

E(I{V?1}|U?10)?P(V?1|U?10)??gV|U(v|u?10)dv??

11dv?. 1102 ……7分

10u2U2 （2）因为D(V|U?u)?，所以D(V|U)?。

1212 ……10分

3.（10分）设X1,X2,L,Xn独立同分布，均服从两点分布，即

P{X1?0}?p,P{X1?1}=1-p,(0?p?1)，令Y?X1?X2?L?Xn，（1）求Y的

特征函数；（2）求E(Y3).

解: （1）因为Y服从二项分布B(n,q)，所以Y的特征函数

?(t)?(p?qeit)n

……5分

（2）E(Y3)?E(X1?X2?L?Xn)n ??EX?3ii?1ni,j?1,j??i?nE(XXj)?2ii,j,k?1,互不相等?nE(XiXjXk)

……10分

?nq?n(n?1)q2?n(n?1)(n?2)q3