[创新方案]2015高考数学（文）一轮热点题型突破：第7章 第2节 空间几何体的表面积和体积

第二节 空间几何体的表面积和体积

考点一 空间几何体的表面积

[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )

A．28＋65 B．30＋65 C．56＋125 D．60＋125

(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，

据正、俯视图知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，

据侧视图知，BC＝4.

综上所述，可知BC⊥平面PAB， PB＝PD2＋BD2＝5，

PC＝BC2＋PB2＝16＋25＝41， AC＝AB2＋BC2＝41， PA＝PD2＋AD2＝25. ∵PC＝AC＝41，

∴△PAC的边PA上的高为

PA?2

h＝ PC2－??2?＝6.

11

∴S△PAB＝AB·PD＝10，S△ABC＝AB·BC＝10，

2211

S△PBC＝PB·BC＝10，S△APC＝PA·h＝65.

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故三棱锥的表面积为

S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋65. (2)该几何体的直观图如图所示：

该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．

∴S表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. [答案] (1)B (2)38 【方法规律】

空间几何体的表面积的求法技巧

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )

A．372 B．360 C．292 D．280

解析：选B 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．

∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，

又∵长方体表面积重叠一部分，

∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.

高频考点 考点二 空间几何体的体积

1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．

2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积；

(3)求以三视图为背景的几何体的体积． [例2] (1)(2013·湖北高考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )

A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4 C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4 (2)(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )

A．108 cm B．100 cm C．92 cm3 D．84 cm3 (3)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，

3

则四棱锥A-BB1D1D的体积为________cm.

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[自主解答] (1)由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆

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的半径为1，高为1的圆台，其体积V1＝π×(12＋22＋1×2)×1＝π；从上到下的第二个简

33

单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故

128

体积V4＝×(22＋2×4＋42)×1＝，比较大小可知答案选C.

33

(2)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，则几何体的

11

体积V＝6×6×3－××4×4×3＝100 cm3.

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(3)由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则AC⊥BD.由面面垂直的性质定理，可证AO⊥平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为32×2＝62，从而

1

VA-BB1D1D＝×OA×S长方形BB1D1D＝6.

3

[答案] (1)C (2)B (3)6

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．

(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．

(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )

1416

A．4 B. C. D．6

33

解析：选B 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2

1114

＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋S1S2＋S2)h＝×(1＋1×4＋4)×2＝. 333

2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π

解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、

6

高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为＝3，

2

1

母线长为2，故V＝10×4×5＋π×32×2＝200＋9π.

2

考点三 与球有关的组合体