2012高等数学（上）期末试卷A答案

青岛理工大学试卷标准答案及评分标准专用纸

2012 ~ __2013__学年第 1 学期 高等数学（上） 期末试卷

标准答案及评分标准 A 卷

专业 各 班级 2012级各班

一、填空题（每题3分，共15分）

1、极限lim?x???sinx?x?xsin2?x??? -2 。

2、设函数f(x)可导，y?f(x2)，则dy?2xf?(x2)dx。 3、反常积分???1?0x2?2x?2dx?4 。 4、定积分?12?xcosx2??14?x2dx?3 。

5、微分方程 y??ex?y的通解为ex?e?y?C(C?0) 。

二、选择：（每题3分, 共15分）

? 1、设f(x)???xsin1x,x?0在(??,??)上连续，则a? （ A ??ln(a?x2),x?0 A、 1 B、 e C、 2 D、 1/e

2、曲线x3?y3?xy?7在点(1,2)处的切线方程为 （ A ） A.x?11y?23?0 B.x?y?23?0 C.x?11y?13?0 D.x?11y?21?0

3、由方程 xy?ex?ey?0所确定的隐函数y?y(x)的导数y?(0)?（ A.. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

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） 。 。 。 C ）

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4、若 A．

sinx为f(x)的一个原函数，则 ?xf?(x)dx? （ C ） 。 xsinx1?sinx2sinx2sinx?c B. ?ccosx??ccosx??c C. D. xx2xx5、下列反常积分中收敛的是（ C ）。

A． ?011?x?1?2????111dx D. ?dx dx B. ??13dx C. ???2exx?2x?2xlnx1三、计算下列各题 （每题6分，共24分） 1、求极限 lim?2x?ex?01x3x?1x

13x?2x?e3x?= lim[1?(2x?e3x?1)]2x?e 解： limx?0x?0 = ex?0?1?(2x?e3x?1)?1x ........... 3分

lim(2??e3x?1)x?ex?0lim(2??3x)x ......................... 5分

= e5 ....................................... 6分

?d2y?x?ln1?t2确定函数y?y(x),求2 2、设?dx??y?arctant解：

dxtdy1dy1?,???dt1?t2dt1?t2dxt ......................... 3分

d2yd?1?dt11?t21?t2 2?????2........................ 6分 ??3

dt?t?dxtdxtt 3、求不定积分：?sinx?8cosxdx

2sinx?3cosxsinx?8cosx?A(2sinx?3cosx)?B?2sinx?3cosx?? 解：

?(2A?3B)sinx?(3A?2B)cosx?2A?3B?1,3A?2B?8?A?2,B?1第 2 页 共 6 页

........... 2分

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?sinx?8cosx2(2sinx?3cosx)2cosx?3sinxdx=?dx??dx ......... 4分

2sinx?3cosx2sinx?3cosx2sinx?3cosx=2x?ln2sinx?3cosx?c .................. 6分

2?e?x,x?04、设f(x)??，求?1f(x?1)dx。 22?1?x,x?021 解：?f(x?1)dxt?x?112??121f(t)dt??1(1?t)dt??e?tdt?(t?t3)?0320210?12?e?t10 .. 4分

??12137?e?1?1??e?1 ............................ 6分 2424四、（12分） 曲线y?ex与原点所引切线和y轴三者所围成的平面图形为D，

求 1）平面图形D的面积；2）D绕x轴旋转所成旋转体的体积。

解：设切点为(x0,ex)，则切线为：y?ex?ex(x?x0)，它过（0，0）点，故 x0?1

000所以切线方程为：y?ex。 ----------------------------- 3分

ex21e?e?1 ------- 6分 故 1）SD??0(ex?ex)dx?ex10?0?e?1?23122??ex??e????e 2）VD???0(e2x?e2x2)dx??e2x1 00111212121213121213 =?e2??。 ---------------------------------- 12分 五、（12分）求函数f(x)?xe?x的单调区间、凹凸区间 、极值及拐点。解： f?(x)?e?x(1?x),f??(x)?e?x(x?2)....................... 4分 f?(x)?0?x?1,f??(x)?0?x?2 ....................... 6分 列表：

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x (一∞,1) + 1 极大值 （1，2） — 2 （2，+∞） — y? y?? y — e?1 — 拐点 2/e2 + ................................ 7分 所以，单增区间为(??,1)， 单减区间为(1,??)， ................................. 8分 x?1时，取极大值f(1)?e?1, ......................... 9分 凹区间为(??,2)， ................................. 10分 凸区间为(2,??)， ................................. 11分 拐点为(2,2/e2)。 ................................. 12分

?2x六 、（6分） 已知连续函数f(x) 满足方程f(x)??0f??3?dt?e，求f(x)

??3xt解：原方程两边对x求导数

f?(x)?3f(x)?2e2x?f?(x)?3f(x)?2e2x ------------------------- 3分

解得：f(x)?Ce3x?2e2x --------------------------------- 5分 又 f(0)?1， 所以 C?3 所以 f(x)?3e3x?2e2x ............... 6分 七、（10分）、设f(x)??0e?tcostdt，求f(x)在 ?0,??上的最大值与最小值。

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