2018届高三数学一轮复习专项检测试题： 空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

一、选择题（每小题5分，共50分）

1. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）

（A）（322223222232222）和（?）； （B）（）； ,,?,?,,,?105210521052322223222232222（C）（）和（?）； （D）（?）； ,,,?,?,?,105210521052

2. 在下列命题中：

rrrr①若向量a,b共线，则向量a,b所在的直线平行；

rrrr②若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面；

rrrrrr③若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面；

urrrr④已知是空间的三个向量a,b,c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得

urrrrp?xa?yb?zc；其中正确的命题的个数是 （ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

3. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC的充分条件是 （ ）

（A）OM?OA?OB?OC； （B）OM?OA?OB?OC；

223uuuuruuur2uuuruuuruuuuruuuruuur3uuur（C）OM?OA?OB?OC； （D）OM?2OA?OB?OC

uuur4. 已知点B是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则(OB)2等于 （ ） （A）（9，0，16） （B）25 （C）5 （D）13 5. 设平面?内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向

量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1） 6. 如图所示，在正三棱柱ABC——A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小

为 （ ）（A）60° （B）90° （C）105° （D）75° 7. 到定点?1,0,0?的距离小于或等于1的点集合为（ ） A. C.

uuuurr1uuur1uuur1uuuuuuurr1uuur1uuuuuur??x,y,z?|?x?1?2?y2?z2?1 B.?x,y,z?|?x?1??y2?z2?1

2??2?rrrr8. 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60?,那么a?3b等于（ ）

??x,y,z?|?x?1??y?z?1? D.??x,y,z?|x?y2?z2?1?

A．7 B．10 C．13 D．4

9. 在平面直角坐标系中, A(?2,3),B(3,?2),沿x轴把平面直角坐标系折成120?的二面角后,则线段AB的长度为（ ） A．2 B．211 C．32 D．42

10. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“???”是“m??”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 11. 若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。 1

2 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB13.

.AC所成角的余弦值等于________； DC与Auurrrruurrrr M14.已知F?i?2j?3k，F2??2i?3j?k，N1M设uurrrruuruuruurDMF3?3i?4j?5k，若F1,F2,F3共同作用于ABCNEB、一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动

N到N（3，1，2），则合力所作的功是 . 是三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写直

出文字说明，证明过程或演算过程） 角rrrrrr15.梯 设向量a??3,5,?4?,b??2,1,8?，计算3a?2b,a?b,并确定?,?的关系，使rr形?a??b与z轴垂直 A B C D 两 腰 的

16. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：中

QB=5：12， 点

（1） 求线段PQ的长度； ，

（2） 求证PQ⊥AD； D

（3） 求证：PQ//平面CDD1C1； E ⊥ A B 于 E ( 如 图 )

． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 2，E，17.现F分别是AD，PC的中点 将（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。 △ A D E 沿 D E 折 起 ， 使二面角A－

18. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于

uuuruuurB,C的一点P,使得PS?PD.

(1)求a的最大值;

(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;

r (3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n

及点P到平面SCD的距离.

参考答案

1-5 AABBB 6-10 BACBB 11. 3，2 12.

rr15. 解：3a?2b?3(3,5,?4)?2(2,1,8)?（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)

3? 13. 14. 14

32rra?b?(3,5,-4)?(2,1,8)=6+5-32=-21

rr由(?a??b)?(0,0,1)?(3??2?,5???,?4??8?)?(0,0,1)??4??8??0

即当?,?满足?4??8?＝0即使?a??b与z轴垂直.

16. 解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，∴P(∴PQ?(0,rr51255，,0,)，Q（,,0）

17171717uuur512,?)，所以 1717uuur13（1）∴PQ?|PQ|?；

17uuuruuuruuur（2）∵DA?(1,0,0)，∴PQ?DA?0，∴PQ⊥AD；

uuur5uuur12uuuuruuuruuuur（3）∵DC?(0,1,0)，DD1?(0,0,1)，∴PQ?DC?DD1，又DD1,DC?平面

1717CDD1C1，PQ?平面CDD1C1，∴PQ//平面CDD1C1；

17. 解法一 （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形。

∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0)，D(0，2 √ 2，0)，P(0,0,2)

uuuruuur又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√ 2，0),F(1，√ 2，1)。∴PC=（2，2 √ 2，-2）BF=uuuruuuuuuruuuuuurrr（-1，√ 2，1）EF=（1,0, 1），∴PC·BF=-2+4-2=0，PC·EF=2+0-2=0， uuuruuuruuuruuur∴PC⊥BF，PC⊥EF，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,∴PC⊥平面BEF

（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量

设平面

BEF与平面BAP的夹角为 θ ，

则

∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45 解法二 （I）连接PE，EC在 PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形， 又F是PC 的中点，∴EF⊥PC, 又∴BF⊥PC. 又

，F是PC 的中点，

18. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0

uuuruuur (1) ∵PS???a,?x,1?,PD???a,2?x,0?

uuuruuur∴由PS?PD得: a2?x(2?x)?0

即: a2?x(2?x)(0?x?2)

∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;

uuuruuur(2) 由(1)知: AP?(1,1,0),SD?(0,2,?1),

uuuruuuruuuruuurAPgSD210?, ∴cosAP,SD?uuuruuur?52?5AP?SD∴异面直线AP与SD所成角的大小为arccos10. 5uruuruuur (3) 设n1??x,y,z?是平面SCD的一个法向量,∵DC?(1,0,0),SD?(0,2,?1),

uruuururuuur?x?0?x?0??ur?n1?DC?n1gDC?0????2y?z?0??y?1得n1?(0,1,2), ∴由?uruuur??uruuur???取y?1?z?2?n1?SD?n1gSD?0??urrn15251???0,1,2??(0,,), ∴平面SCD的一个单位法向量n?ur555n1uurr?5uurrCP?n5, 又CP?(0,?1,0),在n方向上的投影为r?5??15n∴点P到平面SCD的距离为

5. 5