2010年江苏高考数学试题及答案 - 图文

益智（Easy）学习 2010高考江苏卷·数学 2010年6月9日星期三 easymathsedu@163.com

2010年江苏高考数学试题

一、填空题

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________ 简析：由集合中元素的互异性有a+2=3或a2+4=3，?a=1或a2=－1(舍) ?a=1 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________ 6+4i(6+4i)(2+3i)26i简析：由题意?z====2i?|z|=2 13132－3i3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__ 1简析： 24、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。 简析：观察频率分布直方图，知有0.06×5×100=30根长度小于20mm 5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函数，则实数a=_______▲_________

R 简析：由偶函数?f(－x)=f(x) ?x(ex+ae-x)=－x(e-x+aex) ?x(ex+e-x)(1+a)=0 x∈?a=－1

频率0.060.050.040.030.020.01长度mO510152025303540组距

x2y2

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的

412距离是___▲_______

简析：法一——直接运用焦半径公式求。因焦半径知识课本中未作介绍，此不重点说明； 法二——基本量法求解。由题意知右焦点坐标为F(4,0)，M点坐标为(3,±15)?MF=4 7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 简析：读图知这是计算S=1+21+22+…+2n的一个算法，由S=2n－1?33且n为正整数知n=5时跳出循环，此时，输出S=1+21+22+…+25=63 n←n+1 否 是 结束 S←1 输出S n←1 S←S+2n S≥33 开始 8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

1

益智（Easy）学习 2010高考江苏卷·数学 2010年6月9日星期三 easymathsedu@163.com 简析：对原函数求导得y?=2x (x>0)，据题意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，所以a1+a3+a5=21 9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4四个点到直线12x－5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ |c|简析：若使圆上有且仅有四点到直线12x－5y+c=0距离为1，则圆心到该直线之距应小于1，即<1，解13得c?(－13,13) ?10、定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,

2直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____ 简析：由题意知线段P1P2长即为垂线PP1与y=sinx图像交点的纵坐标。 ?22?y=6cosxx?(0,)22 由?y=5tanx ?6cosx=5tanx?6cosx=5sinx?6sinx+5sinx－6=0?2sinx=? P1P2= ?33?x2+1，x?011、已知函数f(x)=?,则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是____▲____ ?1 ，x<0

简析：设t=1－x2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1? f(1－x2)= f(2x)； 当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x2)>f(2x) 当－1?x<0时，t?0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+1?1，f(2x)=1，?f(1－x2)>f(2x) (x?－1)； 当0?x?1时，t?0，2x?0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+1?1，f(2x)=(2x)2+1， 由f(1－x2)>f(2x)? (1－x2)2+1>(2x)2+1?x4－6x2+1>0?0?x<2－1 综上，x?(－1,2－1) x2x312、设实数x,y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是_____▲____ yy

2

简析：由题意知x,y均为非0的正实数。 111x211x21x1x2xx3 由3?xy?8 ? ?2? ，又4??9 ? ?2·?3，即?3?3 ? 4×?·3?9×3? 4?27 8xy3y2xyy2y2yyy2batanCtanC13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cosC，则+=__▲

abtanAtanBsin2A+sin2B简析：据正、余弦定理，由已知等式，角化边得3c=2a+2b ①，边化角得=6cosC ② sinAsinB222tanCtanCcosAcosBsin(A+B)sin2C 因为+= tanC( + )=tanC· = ③ tanAtanBsinAsinBsinAsinBsinAsinBcosC 至此，③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。 6sin2C6c26sin2C6c2 据②式，③式=2= ，又据①式，③式=2==4 sinA+sin2Ba2+b2sinA+sin2Ba2+b214、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积,则S的最小值是_______▲_______ 简析：如图，△ABC是边长为1的正△，EF∥BC，四边形BCFE为梯形； 设AE=x (0

3， 4xEF 2 BC益智（Easy）学习 2010高考江苏卷·数学 2010年6月9日星期三 easymathsedu@163.com 1 对S(x)求导，令S?(x)=0，联系00 3311323 所以x=时S(x)有最小值S()= 333

二、解答题

15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 →→→

(2)设实数t满足(AB－t·OC)·OC=0=0，求t的值

简析：⑴据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D，→

然后运用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量AB→

与AC和、差的模；

两对角线长为210,42 11→→→→→⑵因为AB=(3,5), OC=(－2,－1)，所以由(AB－tOC)·OC=0知t=－ 5

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900 (1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离

PPFDCDECA16题图B

AB

简析：⑴证：因PD⊥底面ABCD，BC在底面上，所以PD⊥BC； 又因∠BCD=900，所以BC⊥DC；又PD、DC相交于D，所以BC⊥平面PDC 又PC在平面PDC上，所以BC⊥PC，即PC⊥BC ⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延长线于E，则E在平面PDC上； 在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F，结合⑴推知EF⊥平面PBC， 所以垂线段EF长就是点A到平面PBC的距离。 在△PEC中，利用面积的等积性有 EC·PD＝PC·EF 2×1所以EF==2，所以点A到平面PBC之距为2 2此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱

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益智（Easy）学习 2010高考江苏卷·数学 2010年6月9日星期三 easymathsedu@163.com 锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥A－PBC与三棱锥P－ABC实为同一个锥，而三棱锥P－ABC的底112面积=AB·BC=1，高=PD=1；三棱锥A－PBC的底面积=PC·BC=， 222所以可求得三棱锥A－PBC的高为2，亦即点A到平面PBC的距离为2 17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α－β最大

ECD?hB?dA解析：⑴⑵

17题图

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