微探究 线段最值

微探究

线段最值

线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证；

2.几何定理(公理)法：应用几何中的不等量性质、定理； 3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系. 【例1】 如图，在锐角三角形ABC中，BC＝42，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________.

(2012年鄂州市中考题)

试一试 作点N关于直线BD的对称点N′，连CN′交BD于M，则CM＋MN＝CN′，怎样求CN′的最小值？

AN'DMB

【例2】 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别是线段BC、CD、BD上任意一点，则PK＋QK的最小值为( ).

A.1

B.3

C.2

D.3?1

(2012年台州市中考题)

试一试 化动为静，先确定K点位置，从特殊位置切入.

AKQBPCDNC【例3】 几何模型

条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点.

问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小(不必证明). 模型应用：

（1）如图②，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BP，则PB＋PE的最小值是________；

（2）如图③，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

模型拓展

（3）如图④，某人从A地到河边l饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a，最后回到营地B.此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短？

BABEACBPPA'PlDOA图①

图②

B 图③

aAl图④

试一试 （1）是模型的直接运用，B、D关于AC对称；对于（2），分别作出P点关于OB、OA的对称点，确定R、Q位置；对于（3），a是个定值，是必须要走的，不妨先假想把它走完(沿l方向平移A到A′，使AA′＝a)，运用例1的方法，确定余下路程的最短路线.

求线段最值常用的几何性质有： （1）斜边大于直角边； （2）两点之间线段最短； （3）垂线段最短；

（4）三角形任意两边之和大于第三边.

请读者比较例1与例3的差别.

线段长度最值常与图形的运动相关联，厘清动点与静点、常量与变量，动静转化，别有洞天. 例3中的方法常称为“对称法”，其思路是化折线为直线，理论依据是：“两点之间线段最短.”

【例4】 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.

（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？

22（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x?4?(12?x)?9的最小值.

(恩施自治州中考题)

ADBCE 2222试一试 对于（3），原式＝x?2?(12?x)?3，而a2?b2的几何意义是以a、b为直角边

的直角三角形斜边长.

著名数学家希尔伯特曾说：“算术是写下来的图形，几何是画下来的公式.”构造图形就是运用几何图形的直观性和数形结合解决一些代数问题.

费马点

【例5】 在已知△ABC所在平面上求一点F，使它到三角形三顶点的距离之和为最小.

这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，这个问题中所求的点被人们称为“费马点”.

（1）如图①，当△ABC三内角均小于120°时，F在△ABC内部，此时∠AFB＝∠BFC＝∠CFA＝120°； （2）如图②，当△ABC有一角(不妨设为∠A)≥120°时，点F与点A重合.

AA(F)FBC图①

对于（1）给出分析与证明：

即当∠AFB＝∠BFC＝∠CFA＝120°时，FA＋FB＋FC的值最小. 如图③，将△AFC绕点A逆时针旋转60°得△AF′C′，连接FF′，

AC'

BC图②

F'FBC图③ 则△AFC≌△AF′C′，AC′＝AC，FC＝F′C′，FA＝F′A. ∵∠FAF′＝60°，FA＝FA′， ∴△FAF′为等边三角形.

∴FA＝F′A＝FF′，FA＋FB＋FC＝FB＋FF′＋F′C′， ∵∠AFB＝∠BFC＝∠CFA＝120°，∠AFF′＝60°， ∴B、F、F′、C′在一条直线上， ∴FB＋FF′＋F′C′＝BC′的值最小， 即FA＋FB＋FC的值最小. 视野窗

由费马点到多边形的最短连接，可类比提出如下问题： （1）四边形的费马点如何确定？

（2）将正方形的四个顶点用线段连接，怎样的连接最短？

练一练

1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为________.

(云南省中考题)

MAPDBNC

2.如图，线段AB的长为2，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角△ACD和△BCE，则DE的最小值为________.

(2012年扬州市中考题)

EDACB3.如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝________.

yP(a,0)N(a+2,0)OxB(4,-1)

(内江市中考题)

4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为边BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为( )

A.

A(1,-3)3 4 B.

3 3 C.

3 2A

D.3 PBED

5.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为( )

A.2?1

B.5

C.

C145 5 D.

5 2