2012年高中物理一轮精品复习学案：第四章 - 曲线运动（4.4 - 万有引力与航天）

舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是 （ BC ） A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据T?2??可知，飞船在此圆轨道上运动的角

度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。

名师点拨：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)不做功，且其他力做功之和不为零，则机械能不守恒。

根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。

GMMmv2Mm2?2r3)r得T?2?由G2?m得v?，由G2?m(，由rTrrrGMGGMMmMm2?m?rG?man可求向心加速度。 ??得，r2r2r323.（09·福建·14） “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨

道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ C ）

A.r、v都将略为减小 B.r、v都将保持不变

C.r将略为减小，v将略为增大 D. r将略为增大，v将略为减小

解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。 24.（09·浙江·19）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7?10倍，地球绕太阳运行的轨道半径约

7为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 （ AD ） A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 解析：

F太阳F月?M太阳M月?R月22R太阳，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心

到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异。

25. (09·广东文科基础·59)关于万有引力及其应用，下列表述正确的是 （ D ）

A．人造地球卫星运行时不受地球引力作用 B．两物体间的万有引力跟它们质量的乘积成反比 C．两物体间的万有引力跟它们的距离成反比

D．人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，称为第一宇宙速度 26.（09·全国卷Ⅱ·26） (21分)如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为?；石油密度远小于?，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即

PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在?与k?（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

G?Vd答案：（1）2；（2）d?23/2(d?x)Lk2/3L2k?,V? 2/3G?(k?1)?1解析：本题考查万有引力部分的知识.

（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为?的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力GMm?m?g???①2r来计算,式中的m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,M??V?????②

而r是球形空腔中心O至Q点的距离r?d2?x2???③

?g在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小.Q点处重力加

速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常?g?是这一改变在竖直方向上的投影

?g??d?g???④ r联立以上式子得

?g??G?Vd,????⑤ 223/2(d?x)G?V??⑥ 2d（2）由⑤式得,重力加速度反常?g?的最大值和最小值分别为??g??max???g??min?G?Vd?????⑦

(d2?L2)3/2由提设有??g??max?k?、??g??min????⑧

联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

d?Lk2/3L2k?,V? 2/3G?(k?1)?127.（09·北京·22）（16分）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。

（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。 解析：（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M, 在地球表面附近满足

GMm?mg R2得 GM?R2g ①

卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力

2v1Mm m?G2 ②

RR①式代入②式，得到v1?Rg （2）考虑式，卫星受到的万有引力为

MmmgR2? F?G ③ 22(R?h)(R?h)4?2由牛顿第二定律F?m2(R?h) ④

T2?③、④联立解得T?R(R?h)2 g28.（09·天津·12）（20分）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50?10天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。

（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50?10天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量MA是太阳质量Ms的多少倍(结果保留一位有效数字)；

（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为Ep=-G

2

2

Mm(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。R-11

2

2

8

30

8

已知引力常量G=6.7?10N·m/kg，光速c=3.0?10m/s，太阳质量Ms=2.0?10kg，太阳半径Rs=7.0?10m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径RA与太阳半径Rg之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 答案：（1）4?10，（2）?17

解析：本题考查天体运动的知识。其中第2小题为信息题，如“黑洞”“引力势能”等陌生的知识都在题目中给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。 （1）S2星绕人马座A做圆周运动的向心力由人马座A对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T，则

G*

*

6MAmS22?m?r ① S22r