2013年数学高考题四川理解析精校版

所以，(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1. 所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.

1[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥[??2x1?2?]?2x2?2?＝1，当且仅当－(2x1＋2)231＝2x2＋2＝1，即x1??且x2??时等号成立．

22因此x2－x1＝

所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1. (3)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.

当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x1＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x

2

－x1)，即y＝(2x1＋2)x－x1＋a.

2

当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为y－ln x2＝＝

1(x－x2)，即y2x1·x＋ln x2－1. x2两切线重合的充要条件是

?1?2?2x1?2,① ?x2??lnx2?1??x1?a.②由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0. 由①②得，a＝x1＋ln2

2

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－1＝x1－ln(2x1＋2)－1.

2x1?2设h(x1)＝x1－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)， 则h′(x1)＝2x1－

1＜0. x1?1所以，h(x1)(－1＜x1＜0)是减函数． 则h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1， 所以a＞－ln 2－1.

又当x1∈(－1,0)且趋近于－1时，h(x1)无限增大， 所以a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．

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