第一部分 专题六 函数、不等式、导数

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设z＝x－y，则a≥zmin.当目标函数z＝x－y过点C(1,3)时，z＝x－y取得最小值，此时zmin＝1－3＝－2，所以a≥－2.综上可知，实数a的取值范围为[－2,1]．

答案：[－2,1]

第四讲 小题考法——导数的简单应用及定积分

考点(一) 导数的几何意义、定积分 [典例感悟]

[典例] (1)(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．

(2)(2017·成都模拟)若曲线y＝ln x＋ax2－2x(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是________．

(3)(2017·江西师大附中模拟)若?2 (x－a)dx＝?π4 cos 2xdx，则a＝________.

－x－1

主要考查利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程或已知切线方程求参数，以及定积分的简单运算或利用定积分求图形的面积. －x，则曲线y

?1?0

[解析] (1)设x＞0，则－x＜0， f(－x)＝ex1＋x.

－

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝ex1＋x.

－

∵当x＞0时，f′(x)＝ex1＋1，

－

∴f′(1)＝e11＋1＝1＋1＝2.

－

∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

2ax2－2x＋11

(2)f′(x)＝x＋2ax－2＝(x>0)，由题意得f′(x)≥0在x>0时恒成立，所以x12?21112

2－＋1＋1＝－－1＋1，2ax2－2x＋1≥0在x>0时恒成立，即2a≥x－2＝－?所以a≥，?xx?xx21?所以a的取值范围为??2，＋∞?.

123

x－ax?|2(3) ?2 (x－a)dx＝?＝1?2?2－a， ?

1

1131

cos 2xdx＝sin 2x ＝.由－a＝，得a＝1. ?2222?

π4

0

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1

，＋∞? (3)1 [答案] (1)2x－y＝0 (2)??2?

[方法技巧]

1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：

设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．

2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数

已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．

[演练冲关]

x2＋a

1．(2018届高三·广西三市联考)已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的斜率为1，

x＋1则实数a的值为( )

3A．－

43C. 2

B．－1 D．2

x2＋2x－a3－a

解析：选B 由已知得，f′(x)＝＝1，∴a＝－1. 2，又f′(1)＝1，即4?x＋1?2．(2017·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )

A．(0,0) C．(－1,1)

B．(1，－1) D．(1，－1)或(－1,1)

解析：选D 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线

?3x2?0＋2ax0＝－1，

?的斜率为f′(x0)＝3x2＋2ax，又切线方程为x＋y＝0，所以x≠0，且解00032?x＋x＋ax＝0，?000???x0＝1，?x0＝－1，a

?得a＝±2，x0＝－.所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当?时，点P

2?a＝－2?a＝2??

的坐标为(－1,1)，故选D.

3．(2017·唐山模拟)过点(－1,0)的直线l与曲线y＝x相切，则曲线y＝x与l及x轴所围成的封闭图形的面积为________．