第一部分 专题六 函数、不等式、导数

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339x－?2＋， ＝??4?16339当x＝时，h(x)min＝；

416

2xx2

若x>1，则h(x)＝x＋x－＝＋x≥2，

22

x2

当且仅当＝x，且x>1，即x＝2时，等号成立，

2故h(x)min＝2. 综上，h(x)min＝2.

47

－，2?. 故a的取值范围为??16?二、填空题

13．已知关于x的不等式2x＋________．

解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋

22

＝2(x－a)＋＋2a≥2 x－ax－a

2

2?x－a?·＋2a

x－a

2

≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为x－a

33

＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为. 22

3

答案：

2

14．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________． 解析：因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x×22y＝22x＋2y，所以2x

＋2y

≤4＝22，即x＋2y≤2，

所以当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.

答案：2

x＋y－2≥0，??

15．如果实数x，y满足条件?x－1≤0，

??y－2≤0，为________．

解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可111

知当x＝1，y＝1时，z取最小值，即＝，所以a＝1.

21＋a2

答案：1

16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：

解：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．

且z＝

y1的最小值为，则正数a的值

2x＋a

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x＋b11k

－1，－?∪?，1?，则关参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为?3??2??x＋ax＋cbx＋1kx

于x的不等式＋<0的解集为________．

ax＋1cx＋1

1xbx＋1kxk1111

解析：不等式＋<0，可化为＋<0，故得－1

1132ax＋1cx＋1

a＋xc＋x

b＋

bx＋1kx

－3

ax＋1cx＋1

答案：(－3，－1)∪(1,2)

B组——能力小题保分练

2x－y≤0，??x－3y＋5≥0，

1．已知x，y满足?x≥0，

??y≥0，

3A．1 B.

2 4

－?1?y

则z＝8x·?2?的最小值为( )

11

C. D. 1632

解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而

－?1?y－3x－y

z＝8x·＝2，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知?2?

当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2

－y

－3x

1最小，最小值为.故选D.

32

x－y＋2≥0，??4x－y－4≤0，

2．设x，y满足约束条件?x≥0，

??y≥0，

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大

12

值为6，则a＋b的最小值为( )

A．1 C．2

B．3 D．4

解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．

∵a>0，b>0，

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∴当直线z＝ax＋by经过点(2,4)时，z取得最大值6， ∴2a＋4b＝6，即a＋2b＝3.

1212?152b2a

＋(a＋2b)×＝＋＋≥3，当且仅当a＝b＝1时等号成立， ∵＋＝?ab?ab?333a3b12

∴a＋b的最小值为3.故选B. x>0，??

3．设不等式组?y>0，

??y≤－nx＋3n

所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵

111

坐标均为整数的点)个数为an(n∈N*)，若m>＋＋?＋对于任意的正整数恒成

a1a2a2a3anan＋1立，则实数m的取值范围是( )

11

，＋∞? B.?，＋∞? A.??9??9?11－∞，? D.?－∞，? C.?9?9???x>0，??

解析：选A 不等式组?y>0，

??y≤－nx＋3n

表示的平面区域为直线x＝0，y＝0，y＝－nx

＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n个，横坐标为2的整点有n个，所以an＝3n，所以

11111111

＝＝?n－n＋1?，所以＋＋?＋

a1a2a2a3?anan＋13n·?3n＋3?9?anan＋1

1111111??111

＝?1－2＋2－3＋?＋n－n＋1?＝?1－n＋1?，数列??1－n＋1??为单调递增数列，故当n9??9?????9?1111

趋近于无穷大时，?1－n＋1?趋近于，所以m≥.故选A.

9?99?

x≥0，??

4．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组?y≥0，

??x＋y≥1

所确定的平面区域上的动点，

―→―→

Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|OP＋OQ|的最小值为( )

255A. B. 55233C. D. 33

解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分―→―→

所示．设P(x，y)，Q(a，－2a)，则OP＋OQ＝(x＋a，y－2a)，―→―→―→―→

则|OP＋OQ|＝?x＋a?2＋?y－2a?2，设z＝|OP＋OQ|，则z的几

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何意义为可行域内的动点P到动点M(－a,2a)的距离，其中M也在直线2x＋y＝0上，由图可知，当点P为(0,1)，M为P在直线2x＋y＝0上的垂足时，z取得最小值d＝5. 5

5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒b2

成立，则2的最大值为( )

a＋2c2A.6＋2 B.6－2 C．22＋2

D．22－2

11

＝

52＋1

2＝

解析：选B 由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x4ac－4ab2

＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b≤4ac－4a，则2＝2≤2a＋2ca＋2c22

2

2

cccb2

，又4ac－4a≥0，∴4·－4≥0，∴a－1≥0，令t＝a－1，则t≥0.当t>0时，2caa＋2c22??2?a?＋1

2

c?4??a－1?

4t44≤2＝≤＝6－2当且仅当t

32t＋4t＋326＋42t＋t＋4

b2b26＝时等号成立，当t＝0时，2＝0<6－2，故2的最大值为6－2，故选2a＋2c2a＋2c2B.

2x－y＋1≥0，??6．(2017·福州模拟)不等式组?x－2y＋2≤0，

??x＋y－4≤0个条件：

①?(x，y)∈D，y≥ax； ②?(x，y)∈D，x－y≤a. 则实数a的取值范围为________．

解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分(△ABC及其内部)所示．

???x－2y＋2＝0，?x＝2，

由?解得?所以点B的坐标为?x＋y－4＝0，???y＝2，?2x－y＋1＝0，?x＝1，???(2,2)．由解得?所以点C的坐标为???x＋y－4＝0，?y＝3，

的解集记作D，实数x，y满足如下两

(1,3)．因为?(x，y)∈D，y≥ax，由图可知，a≤kOB，所以a≤1.由?(x，y)∈D，x－y≤a，