天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数列通项公式的求法 - 构造辅助数列

数列通项公式的求法之构造构造辅助数列

1、递推公式满足an?1①当g(n)为常数

思路：利用待定系数法，将an?1?c?an?g?n?型

?can?d化为an?1?x?c?an?x?的形式，从而构造新数列

（待定系数法，构造等比数列） ?an?x?是以a1?x为首项，以c为公比的等比数列。 例1：数列

②当g(n)为类一次函数

思路：利用待定系数法，构造数列{an 例2：已知数列

③当g(n)为类指数函数

思路：观察g(n)的形式，如果g(n)的底数与an的系数c相同时，则把an?1 同时除以cn?1?an?满足an?1?2an?1，a1?2，求数列?an?的通项公式。

?kn?b}，使其为等比数列；

?an?满足an?1?2an?(2n?1)，且a1?2，求数列?an?的通项公式。

?c?an?g?n?两边

，从而构造出一个等差数列；如果g(n)的底数与an的系数c不相同时，可以利用待

定系数法构造一个等比数列，其具体构造方法有两种，详见例4题。

例3：已知数列

例4：已知数列

例5：在数列

?an?满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列?an?的通项公式。

，求数列?an?的通项公式。 ?an?满足a1?1，an?1?3an?2n（n?N?）

?an?中，a1??1,an?1?2an?4?3n?1,求数列?an?的通项公式。

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补充练习：

1、已知数列{an}满足a1

2、已知数列

?1，an?1?2an?1，求数列{an}的通项公式。

?an?中，a1?1，an?1?1an?(1)n?1，求数列?an?的通项公式。

223、已知a1?1，当n?2时，

an?1an?1?2n?12，求数列?an?的通项公式。

4、已知数列

?an?满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。

5、已知数列

?an?满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列?an?的通项公式。

6、已知数列

?an?满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列?an?的通项公式。

注：若an?1?3an?2?3n?1，a?31时，则直接构造等差数列即可，但含常数1时则需累加。 中不含常数

7、已知数列

8、在数列

?an?满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列?an?的通项公式。

?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)?2n,n?N*，其中??0。求数列?an?的

通项公式。

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2、递推公式满足an?1?ananban、an?1?、an?1?pan?1pan?qcan?d等型或其交叉相乘的整式形式

思路：①递推公式满足an?1??1?an型，取倒数，构造数列??，使其为等差数列。

pan?1?an??1???型，构造数列??，使其为等比数列。 a?n?②递推公式满足an?1anban?型或an?1?pan?qcan?d例6：已知数列

?an?中a1?1，an?1?an，由这个数列的第n项为（ ）

2an?1A、2n?1 B、2n?1 C、

11 D、

2n?12n?1例7：已知数列

?an?满足a1?1,an?1??1?an，求证：??是等差数列，并求?an?的通项公式。

3an?1?an?

例8：在数列

?an?中，已知a1?2,an?1?2an，求数列?an?的通项公式。

an?1

补充练习：

1、已知数列

?an?中，其中a1?1，且当n?2时，an?an?1，求数列?an?的通项公式。

2an?1?1

2、已知数列an?1?an2an?1n,a1?1，求数列?an?的通项公式。

3、数列

?an?中，

an?12n?1?an?n?12?ana，1?2，求数列?an?的通项公式。

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3、间隔性数列的通项公式

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