浙大《概率论》试卷

概率论试卷（一）

一、填充题（每空格3分） 1.若AB??,则P(A∪B)_____P(B).

2.设ξ服从参数为λ的普阿松分布,P(ξ=1)=P(ξ=3),则λ=_____.

23.设?i～N(0,1),i=1,2,?,n; ?1,?,?n相互独立.则_____～?(n)分布.

4.设ξ,η互不相关,则Var(2ξ-η)=_____.

5.参数λ=1的指数分布的特征函数是__________________________. 二、是非题（每小题3分）（先回答‘对’或‘错’再简述理由）

1.设(ξ,η)为连续型随机向量,如果联合密度等于各自边际密度的乘积,则ξ,η相互独立. 2.随机变量ξ,η相互独立的充分必要条件是E(ξη)=Eξ·Eη.

1n??i?22???n3.设{n}为独立同分布随机变量序列,1～N(a,?),=i?1,则也服从N(a,?).

???. 4.设随机变量?n与ξ的特征函数分别为fn(t)与f (t). 若fn(t)→f (t),(n→∞),则?n??e?x,x?0?0,x?0三、（16分）设ξ,η相互独立，均服从p(x)=?.

（1）求U=ξ+η与V=ξ/(ξ+η)的联合密度； （2）判断U与V是否独立；

（3）求V的密度函数.它服从怎样的分布？

四、（16分）已知(?1,?2)?～N(1,0;

（1）写出?的特征函数与密度； （2）求E?,Varη； （3）求Cov(?1,?)； （4）?1与η相互独立吗？为什么？

五、（10分）某商店某种食品一块从上柜到销售出去时间（天）服从参数为λ=1/3的指数

分布.若一块这种食品六天内卖不出去，就要另行处理，不能再卖.该店每天新上柜这种食品100块，求（六天后）平均每天另行处理的这种食品的数量.

P32,42,?1/2),???1?2?32.

k?(2k?1)k?(2k?1)六、（8分）设{?k}相互独立，P{?k?2}?2, P{?k??2}?2,

1nd?k???0??2k??0}?1?2nP{k, k=1,2,?. 求证：k?1.

Pd???，求证：?n????. 七、（15分）(1)设?n?dp??c（常数），求证?n???c. (2) 设?n?

?(1?nx)，n=1,2,?,求证：?n???0. 八 、（8分）设?n的密度为

概率论试卷（二）

一、填充题（每空格3分）

1.古典概型是具有条件________________________________________的随机试验模型. 2.设(ξ,η)～N(0,1;1,4,0.5)，则ξ,η分别服从_________________________________.

3.设?1,?2的特征函数分别为f1(t),f2(t),?1,?2相互独立. 则(?1,?2)的特征函数为

pn(x)?n22d

______________.

4.从1,2,3,4,5五个数字中任取三个，所得号码中最大的为ξ, 则ξ的分布列为

______________.

二、是非题（每小题3分）（先回答‘ 对’与‘错’，再简述理由）

?2x,0?x?1?0,其它 (1)设随机变量ξ的密度函数为p(x)=?，则η=1-2ξ的密度为

1?y??1?y,0??1?2其它?0,q(y)=?.

(2)Varξ=1,Varη=4,则Var(2ξ+η)=8.

(3)?(t)=sint是某随机变量的特征函数.

W??F(x),则 (4)设分布函数Fn(x)与F(x)对应的特征函数分别为fn(t)与f (t)，若Fn(x)?fn(t)→f (t).(n→∞).

三、（12分）甲乙两厂独立生产同类产品，生产一级品的概率各为p1,p2.某店分别有甲乙 两厂的该类产品3件与7件. （1）求它们都是一级品的概率；

（2）在这10件中任取一件，求它是一级品的概率;

（3）在这10件中任取一件，发现是一级品，求它是甲厂生产的概率. 四、（10分）随机变量ξ的分布列为P(ξ=2k)=3 /4 （1）求Eξ；（2）求ξ的特征函数.

k?1,k=0,1,2,?.

?e?x1?x2,x1?0,x2?0?其它?,?x,x1212五、（17分）()的联合密度为p()=?0,.

求：（1）?1??1??2与?2??1/?2的联合密度；（2）?2??1/?2的密度；

（3）E(e??1/2)； （4）Var(e2??1/2).

六、（12分）设?1,?,?n相互独立，都服从正态分布N(?,?). （1）写出其联合分布的密度函数； （2）求证：i?1??in服从正态分布N(n?,n?);

2（3）求证：对任意正交变换U，η=Uξ（其中ξ=(?1,?,?n)?）各分量也相互独立， 同 方差.

七、（15分）（1）正确叙述并证明林德贝格—勒维中心极限定理.

?1（2）某种电子元件使用寿命服从λ=0.1（单位（小时)）的指数分布.一个元件损坏后 第二个接着使用.求100个这类元件总计使用时间超过900小时的概率.

八、（10分）设{?n}为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理. 则它服从大数定律

k?1 的充分必要条件是=o(1)，试证明之.

概率论试卷（三） 一、填充题（每空格3分） (1)若P(A)=0.5, P(A∪B)=0.8, 则当A与B相互独立时，P(B)=____, P(A--B)______.

r (2)设Var?=4, Var?=9, 相关系数??=1/4, 则Var(2???+5)=_______.

(3)设?～B(n,p)，则?的特征函数为__________________.

[var(??k)]/n2n

(4){?n}独立同分布，E?n=a,Var?n=?, 则林德贝格—勒维中心极限定理是说：

2 ________________________________________________________________________. 二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由） (1)设随机变量?的分布函数为F(x)，则对任意常数a，P(?=a)=0.

(2)若Var(?1??2)?Var?1+Var?2，则?1与?2不独立.

(3)设随机变量?1,?2的特征函数分别为f1(t),f2(t). 若随机向量(?1,?2)的特征函数 f(t,t)=f1(t)f2(t), 则?1,?2相互独立.

(4)设随机变量?n,?的分布函数分别为Fn(x)与F(x)，特征函数分别为fn(t)与f(t).

W??F(x). 若fn(t)→f(t), (n→∞), 则 Fn(x)?222三、（10分）随机变量?～N(a,?). (1)求证??k?+b～N(ka+b,k?)，(k≠0);

(2)求???的密度函数.

2?3x/2,0?x?1,?x?y?x?0,其它?,?四、（17分）()的联合密度为p(x,y)=?，

(1)求边际密度；(2) 求E?,E?及COV(?,?).

五、（8分）某人每月收入?服从[600,1200]上的均匀分布. 当月收入超过800元时应交个 人收入调节税. 问此人平均每年有几个月要交该项税款？

k?1六、（8分）随机变量?的分布列为P(?=k)=2/3,k=0,1,2,?.

(1)求E?; (2)求?的特征函数.

dPd?n/?n????/c.

???,?n???c(?0). 求证 七、（10分）设{?n},{?n}为两列随机变量，?n?

八、（20分）设{?n}为独立同分布的随机变量序列，都服从U[-1,1]. 求证: (1)(2)

3/n??kk?1nn依分布收敛于N(0,1);

nn/3(??k)/(??2k)k?1k?1依分布收敛于N(0,1).

浙江大学2003 - 2004学年第一学期期末考试

《概率论》课程试卷

开课学院：___________________________ 任课教师：________________________

姓名：____________ 专业：__________ 学号：________________考试时间：_____分钟 题序 得分 一 二 三 四 五 六 七 总分 评卷人签名 一、（15分）给出下列定义 1． 1． 概率的公理化定义

答：?为样本空间，?为事件域。概率是定义在?上的实值集函数：A(??)?P(A), 并且满足下列条件：

（1）（非负性）对任一A??,P(A)?0；

P（2）（规范性）P(?)?1；

（3）（可列可加性）若A1,A2,?,An,?是?中两两互不相容的事件，则

2． 2． 随机变量

??P(?n?1An)??n?1P(An)。 ----------------------(5分)

答：设?(?)是定义在概率空间(?,?,P)上的单值实函数，且对于R上的任一波雷尔集B有 就称?(?)为随机变量。-----------------------------------------（5分） 3．（弱）大数定律

大：设{?n}是定义在概率空间(?,?,P)上的随机变量列，如果存在常数列{an}和{bn}使得

?1?(B)?{?:?(?)?B}??,

1an?nk?1?k?bn?0P(n??),

则称{?n}服从（弱）大数定律。----------------------------------（5分） 二、（14分）投掷n次均匀硬币，求出现正反面次数相等的概率。

解 若n为奇数, 显然, 出现正反面次数不可能相等, 故所求概率为0；若n为偶数,“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各n/2次”， 投掷n次均匀硬币，可以看作伯努

里概型，故这时概率为：

Cn/2nn为奇数,???????2分?0,1n?n/2?n()2。故所求为：?Cn2,n为偶数.??????12分。

三、（15分）设随机变量?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x)，记它的分布函数为F(x)。证明对任意的a?0，有

a1F(?a)?1?F(a)???p(x)dx20（1）；

（2）P(|?|?a)?2F(a)?1；

（3）P(|?|?a)?2(1?F(a))。 解（1）由于p(x)?p(?x), 故 因而

0??a??p(x)dx??a??ap(x)dx，

?0?ap(x)dx??p(x)dx0??aa，

???p(x)dx?1,2

F(?a)??p(x)dx?????a????a0p(x)dx??p(x)dx??p(x)dx?1?F(a)????0?aa1??p(x)dx20，

，

F(?a)??p(x)dx??p(x)dx??p(x)dx??? 即证（1）式；---------------------------------------------------（7分）

（2）由（1）式，P(|?|?a)?P(?a???a)?F(a)?F(?a)?2F(a)?1，即得（2）

式；-------------------------------------------------------（4分） （3）由（2）式，P(|?|?a)?1?P(|?|?a)?1?(2F(a)?1)?2(1?F(a))即得（3）式。