第一章 命题、不等式

第一章 命题、不等式

第一节 命题与条件

【知识梳理】

1.四种命题及其相互关系； 2.充分条件和必要条件。 【例题精析】

[例1]（1）下面有四个命题：①集合N中最小的数是；②若?a不属于，则a属于N；③若a?Nb,?N则a?b的最小值为；④x2?1?2x的解可表示为{1,1}.其中真命题的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

22（2）命题：“若a?b?0(a,b?R)，则a?b?0”的逆否命题是（ ）

A．若a?b?o(a,b?R)，则a2?b2?0 B．若a?0，且b?0(ab,?R)则a2?b2?0

C．若a，则a2?b2?0 ?b?0(a,b?R)，则a2?b2?0 D．若a?0,或b?0(,ab?R)2（3）若A:a?R,a?1, B:x的二次方程x的一个根大于零,另一根小于零,则A是B的?(a?1)x?a??20（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （4）给出以下四个条件：①ab?0；②a?0或b?0；③a?b?2；④a?0且b?0.其中可以作为“若

a,b?R，则a?b?0”的一个充分而不必要条件的是__________.

（5）设有两个命题：p:不等式|x|?|x?1|?a的解集为R，命题q:f(x)??(7?3)ax在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是__________.

[例2] 写出命题“若都是偶数，则a[例3] 证明是无理数.

22[例4] 已知方程x,求使方程有两个实数大于1的实数根的充要条件。 ?(2k?1)x?k?0?b是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.

第二节 一元二次不等式

【知识梳理】

1、求解或判别不等关系式，利用性质进行比较大小； 2、求解一元二次不等式；

3、不等关系或一元二次不等式的解法的简单应用。 【例题精析】

[例1]（1）已知a?b?c?0,若P=b?c,Q=a?c,则（ ）

ab A.P≥Q B.P≤Q C.P>Q D.P

（2）若（ ）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

（3）若loga2＜logb2＜0，则（ ）

A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C． a＞b＞1 （4）不等式|x?3|?x的解集是 ． x?111??0，则下列不等式：①a?b?ab；②|a|?|b|③aab?b；④

ba??2 中，正确的不等式有ab D． b＞a＞1

（5）不等式log2x?3x2?1的解集是 .

[例2] 设函数f(x)?lg(2x?3)的定义域为集合M，函数g(x)?1?2的定义域为集合N．求： x?2（1）集合M，N； （2）集合M?N，M?N．

2xx2x[例3] 解关于x的不等式：log[(ab)?2b?1]＜0(a＞0，＞0) 1a?2?a,a,、[例4] 已知AB(0)、C(0)是等边顶点，点别在边，且N分上?ABC的M、M(0,3a)，

将?ABC的面积两等分，记N的横坐标为x，|MN|＝y，

(1)写出y=的表达式 (2)求y=的最小值。

x，面积两等分，记横坐标为|＝ N将N的MN|?ABC的y，

第三节 基本不等式与不等式的证明

【知识梳理】

1、重要的基本不等式，不等式等号成立的条件； 2、证明不等式的方法及应用。 【例题精析】

a?b2a2?b2[例1]（1）设a,b?R，已知命题P:a?b；命题q:(，则p是q成立的（ ） )?22 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

222（2）若a,b,c为?ABC的三条边，且S?a2，S?，p?，则（ ） ab?bc?caa?b?cA．S?2p B． p?S?2p C．S?p D．p?S?2p

x?yxy, b?， a与的大小关系（ ） ?1?x?y1?x1?y（3）设x > 0, yy> 0, a?A．a?b B． a?b

提炼一个不等式 __________.

C．a?b D．a?b

（4）克盐水中，有a克盐（b?a?0），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实

11（5）设x ． ?0,y?0且x?2y?1,求?的最小值xy552332[例2] 已知a,都是正数，并且a?，求证a?b?ab?ab

12xy,?Ry,?x?0og(a)?log?。 [例3] 设xy，当0?a?1时，求证：laa?a28a2b2?a?b?,y?(0,??)，求证：??[例4]（1）已知是正常数，a?b，x，指出等号成立的条件； xyx?y2129(2)利用（1）的结论求函数f(x)??（x?(0,)）的最小值，指出取最小值时x的值．

2x1?2x

第四节 不等式的应用

【知识梳理】

1、不等式的实际应用性问题； 2、基本不等式的综合应用；

3、函数等其它知识和不等式的综合应用。 【例题精析】

x)?log|?b|在(??,0)上递增，则f(a?1)与f(b?2)的大小关系是（ ） [例1]（1）设偶函数f(axa?1)?f(b?2) A．f(a?1)?f(b?2) C．ff(a?1)?f(b?2) B．f(D．不确定

（2）方程|x|?ax?1有一个负根且无正根，则a的取值范围是（ ）

A．a??1 B．a?1 C．a?1 D．a?1

（3）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：

??(x?6)?11(x?N)10万元）与营运年数x的函数关系为y则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利

润最大（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

x?2?x?2,函数y?4?3?2?7的最大值是M，最小值是m,则M-m?（4）已知0 ．

1x?22?（5）在算式“4”中的△，〇中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最步，则这???1???30两个数构成的数对（△，〇）应为 。

[例2] 设x?R且x2??y2?1，求x1?y2的最大值 2x2?c)?f(3)，且不等式≤f(x)≤的解集是[例3] 已知函数f(x)?为奇函数，f(1ax?b[2??,1]?[2,4]．

（Ⅰ）求a,b,c；

?2?sin?)??m?对（Ⅱ）是否存在实数m使不等式f(一切立？若成立，求出m的取值范围； 若不存在，请说明理由． R成

232若不存在，请说明理由．

[例4] 为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：

第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比．

另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和．

假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元．

请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？

第一章 命题、不等式

第一节 命题及其关系

例1、（A） （2）（D） （3）（A） （4）③④ （5） ?1,2? 例2、解: 逆命题:若a?b是偶数，则都是偶数，它是假命题; 否命题:若不都是偶数，则a?b不是偶数，它是假命题; 逆否命题:若a?b不是偶数，则不都是偶数，它是真命题.

p为p,q互p,q互q为例3、证明：假设是无理数，则有理数，故它可以用一个分数表示，设2?q（且质），∴∴偶数，设则即∴偶数.p,q都是偶数与质矛盾.∴是无理数的假设不成立，∴无理数. q?2r，不是不是p,q?N?，q2?2p2，4r2?2p2，p2?2r2，

p互质），∴q2?2p2，∴q为偶数，设q?2r，则4r2?2p2，即p2?2r2，∴p为偶数.p,q都是偶数与p,q互质矛盾.∴不是无理数的假设不成立，∴是无理数.

例4、0?k?122. 提示：令f ()x?x?(2k?1)x?k4第二节 一元二次不等式

例1、（1）D。 （2）Ｃ． （3）B。

（4）xx?3。（5）{x|－＜x＜3且x≠－1,x≠0}。

??3?{x|2x?3?0}?{x|x?}; 例2、解析：（Ⅰ）M22x?3N?{x|1??0}?{x|?0|}?{x|x?3或x?1}

x?1x?13?N?{x|x?3};?N?{x|x?1或x?}（Ⅱ）M M.

2例3、当a＞b＞0，原不等式解集为{xx?loga2}.

b当a=b＞0，x∈Φ；当0＜a＜b，原不等式解集为{x|x＜

2loga2b}.

220y?BM?(x?a)?2BM(x?a)cos60例4、解析：答案：(1)?，

2132a02又BM， (x?a)sin60?a,?BM?22x?a1224?(x)?(x?2ax)?3a,(?a?x?a) 代入yfx?a44a22422y??(x?a)?2a?24a?2a?2a(2)?, 2(x?a)2?y?2a，仅当x?(min2?1)a时取到。

第三节 基本不等式与不等式的证明

例1、（1）B.（2）D.（3）B.（4）

5

5

23

aa?m?．（5）3?22 bb?m322

5

323

5

23

2

3

例2、证明：(a + b ) ? (ab + ab) = ( a? ab) + (b? ab) = a (a ? b ) ? b (a? b) = (a? b ) (a ? b) = (a + b)(a ? b)(a + ab + b)

∵a, b都是正数，∴a + b, a + ab + b > 0 又∵a ? b，∴(a ? b) > 0 ∴(a + b)(a ? b)(a+ ab + b) > 0 即：a+ b > ab+ ab

xyx?y??a2a?2?a?2?a， 例3、证明：ax?y22x?x232232 2

222

222

22 25 523 32

2x?x11112∴l。 og(a?a)?log(2?a)?log2??log2?(x?)??log2?aaaa22288xay2x?xx例4、解：（1）当且仅当a1.4 不等式的应用 例1、（1）B

2yxab?b2，即?)]25． 时上式取等号； ⑵[f(xmin?xyxy（2）D （3）C （4）8 （5）（5，10） 例2、 (x1?y2)max?32 4?2,b?0,c??4例3、解:（Ⅰ）a．（Ⅱ）符合题设的实数m不存在．

例4、在投入费用为900万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。